簡介
上界,是與偏序集有關的一個特殊元素。指偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。設是偏序集,,若對所有都有xRa,則a稱為B在偏序集中的上界,簡稱B的上界,記為。若a是B的上界,對于B的任何上界c,都有aRc,則a稱為B的上确界(或最小上界),記為。
定義
考慮一個實數集合M。如果有一個實數s,使得M中任何數都不超過s,那麼就稱s是M的一個上界。
用數學符号表示為:對∀x∈M,都有x≤s,則稱s是M的上界(upper bound)。
确界原理:若R的子集M有上界,則必有上确界;若集合M有下界,則必有下确界。
上确界定義:設S是R中的一個數集,若數η∈R滿足
(i)對∀x∈S,有η≥x,即η是S的上界;
(ii)對∀a<η,存在x0∈S,使得x0>a,即η是S的最小上界(least upper bound),則稱η為數集S的上确界;
下确界定義:設S是R的一個數集,若數ξ∈R滿足:
(i)對∀x∈S,有ξ≤x,即ξ是S的下界;
(ii)對∀β>ξ,∃x0∈S,使得x0<β,即ξ是S的最大下界(greatest lower bound),則稱ξ為數集的S的下确界;
由戴德金定理證明非空有上界數集必有上确界,非空有下界數集必有下确界同理。
設S為一非空有上界數集,即成立。取數集B為S所有上界的集合,A=R/B。則:
①由取法可知,故。,故,因此。
②。
③∵A中任何元素都不是S的上界,∴。
又∵B中任何元素都是S的上界,∴。
故必有。
∴由戴德金定理可知,要麼A中有最大值,要麼B中有最小值。設這個值為η,并且,恒成立。
假設η是A中的最大值,即,那麼,。
又∵。
但,,與B中任何元素都是S的上界矛盾。
∴η是B中的最小值,即S有最小上界(上确界)。
舉例
對一個,它的上界可能不存在,或可能不止一個。例如,令A={1,2,3},R={|a整除b}。當B1={2,3}時,B1沒有上界,當B2={1}時,有上界1,2,3,且1是B2的上确界。
對,若上确界存在,則是惟一的。一個子集B有上界時它未必有上确界,有上确界也不一定在子集B之中,例如,如概述圖中哈塞圖表示的以A={a,b,c,d,e}為基本集的一個偏序集,子集B={b,c,d},以a為上界,a{b,c,d}。子集{e,f}的上界與上确界都是f。子集{c,d,e}無上界,也無上确界。
非空的完全有序集的每個有限子集都有上界和下界。
例如,5是集合{5,8,42,34,13934}的下界。
另一個例子是對于集合{42},數字42既是上界和下界,所有其他實數都不是該集合的上限或下限。
所有自然數的每個子集都具有下界,因為自然數具有最小元素(0或1,取決于自然數的确切定義)。自然數的無限子集不能從上面界定。整數的無限子集可以從下方界定或從上方界定。有理數字的無限子集可能來自也可能不會從下方界定,也可能不限于上述。