發展簡史
定理約于公元1639年為法國數學家布萊士·帕斯卡(Blaise Pascal)所發現,被稱為帕斯卡定理,是射影幾何中的一個重要定理。
定理定義
帕斯卡定律,也叫液壓傳遞原理(the principle of transmission of fluid-pressure),用今天的話說,即不可壓縮液體局域壓強的變換可以傳遞到各處。
驗證推導
1.面積法
設交于,交于,交于
連接,設交于'(如圖1中圖1),交于''(如圖1中圖2)
要證共線,隻需證交于一點
隻需證:,即證:
共邊定理+共角定理可得:
命題得證。
2.位似證法:
作外接圓交于于
同理可得:
與 位似
又位似三角形對應點的所在的直線交于一點
即交于一點,此點為
共線,命題得證。
3.射影證法
圓錐曲線 (以橢圓為例) 上六點,,,, 求證 共線 在異于題設所在平面的空間上任取一點作為射影中心,将射影為一對平行直線;将射影為一對平行直線,再将中 心射影後圖形中的橢圓仿射為圓(如圖2)
則由平行四邊形及同弧圓周角性質知 , 則 , 根據同圓内等弦長對應等圓周角推導知,則觀察圖2 中兩個綠色三角形笛沙格定理(逆)知,則帕斯卡定理得證。
4.平行證法
圓錐曲線 (以圓為例) 上六點,, , ,求證 共線 如圖3作輔助線,記三角形外接圓與本圓于,易證。
令,則由平行推知 ,即K共圓。同理令,則有共圓。則
故 ,則帕斯卡定理得證。
5.角元塞瓦定理證法
利用角元塞瓦定理逆定理證明共點(下面推導省去符号)
我們有
(第二步為對用角元塞瓦定理)因此共點,即共線。
6.梅涅勞斯定理證法:
設交于交于交于
對和截線分别應用梅涅勞斯定理得:
三式相乘得:
圓幂定理得:
将(2),(3),(4)式代入(1)得:
梅涅勞斯逆定理得:共線,命題得證。
定理推廣
基于液壓傳遞原理,人類制造出了液壓機,使得大型設備制造成為可能。
定理意義
帕斯卡定律是個粗糙的表述,經不起更嚴格的推敲,但是對于工業應用來說,有現象的發現就夠了。