命名來源
“克萊因瓶”這個名字的翻譯其實是有些錯誤的，因為最初用德語命名時候名字中“Kleinsche Fläche”是“克萊因平面”的意思。因為翻譯問題寫成了Flasche，這個詞才是瓶子的意思。不過不要緊，“瓶子”這個詞用起來也非常合适。
在1882年，著名數學家菲利克斯·克萊因（Felix Klein）發現了後來以他的名字命名的著名“瓶子”。這是一個像球面那樣封閉的（也就是說沒有邊）曲面，但是它卻隻有一個面。在圖片上我們看到，克萊因瓶的确就像是一個瓶子。但是它沒有瓶底，它的瓶頸被拉長，然後似乎是穿過了瓶壁，最後瓶頸和瓶底圈連在了一起。如果瓶頸不穿過瓶壁而從另一邊和瓶底圈相連的話，我們就會得到一個輪胎面（即環面）。
描述
克萊因瓶是一個不可定向的二維緊流形，而球面或輪胎面是可定向的二維緊流形。如果觀察克萊因瓶，有一點似乎令人困惑－－克萊因瓶的瓶頸和瓶身是相交的，換句話說，瓶頸上的某些點和瓶壁上的某些點占據了三維空間中的同一個位置。
我們可以把克萊因瓶放在四維空間中理解：克萊因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現出來的曲面。如果我們一定要把它表現在我們生活的三維空間中，我們隻好将就點，把它表現得似乎是自己和自己相交一樣。克萊因瓶的瓶頸是穿過了第四維空間再和瓶底圈連起來的，并不穿過瓶壁。用扭結來打比方，如果把它看作平面上的曲線的話，那麼它似乎自身相交，再一看似乎又斷成了三截。但其實很容易明白，這個圖形其實是三維空間中的曲線。
它并不和自己相交，而是連續不斷的一條曲線。在平面上一條曲線自然做不到這樣，但是如果有第三維的話，它就可以穿過第三維來避開和自己相交。隻是因為我們要把它畫在二維平面上時，隻好将就一點，把它畫成相交或者斷裂了的樣子。克萊因瓶也一樣，我們可以把它理解成處于四維空間中的曲面。在我們這個三維空間中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模樣；就好像最高明的畫家，在紙上畫扭結的時候也不得不把它們畫成自身相交的模樣。有趣的是，如果把克萊因瓶沿着它的對稱線切下去，竟會得到兩個莫比烏斯環。
如果莫比烏斯帶能夠完美的展現一個“二維空間中一維可無限擴展之空間模型”的話，克萊因瓶隻能作為展現一個“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”的參考。因為在制作莫比烏斯帶的過程中，我們要對紙帶進行180°翻轉再首尾相連，這就是一個三維空間下的操作。理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”應該是在二維面中，朝任意方向前進都可以回到原點的模型，而克萊因瓶雖然在二維面上可以向任意方向無限前進。
但是隻有在兩個特定的方向上才會回到原點，并且隻有在其中一個方向上，回到原點之前會經過一個“逆向原點”，真正理想的“三維空間中二維可無限擴展之空間模型”也應該是在二維面上朝任何方向前進，都會先經過一次“逆向原點”，再回到原點。而制作這個模型，則需要在四維空間上對三維模型進行扭曲。數學中有一個重要分支叫“拓撲學”，主要是研究幾何圖形連續改變形狀時的一些特征和規律的，克萊因瓶和莫比烏斯帶變成了拓撲學中最有趣的問題之一。莫比烏斯帶的概念被廣泛地應用到了建築，藝術，工業生産中。
拓撲學的定義
克萊因瓶定義為正方形區域[0,1]×[0,1]模掉等價關系(0,y)~(1,y)，0≤y≤1和(x,0)~(1-x,1)，0≤x≤1。類似于 Mobius Band，克萊因瓶不可定向。但 Mobius 帶可嵌入R³，而克萊因瓶隻能嵌入四維（或更高維）空間。
莫比烏斯帶
把一條紙帶的一段扭180°，再和另一端粘起來就得到一條莫比烏斯帶的模型。這也是一個隻有莫比烏斯帶、一個面的曲面，但是和球面、輪胎面和克萊因瓶不同的是，它有邊（注意，它隻有一條邊）。如果我們把兩條莫比烏斯帶沿着它們唯一的邊粘合起來，你就得到了一個克萊因瓶（當然不要忘了，我們必須在四維空間中才能真正有可能完成這個粘合，否則的話就不得不把紙撕破一點）。同樣地，如果把一個克萊因瓶适當地剪開來，我們就能得到兩條莫比烏斯帶。
除了我們上面看到的克萊因瓶的模樣，還有一種不太為人所知的“8字形”克萊因瓶。它看起來和上面的曲面完全不同，但是在四維空間中它們其實就是同一個曲面－－克萊因瓶。
實際上，可以說克萊因瓶是一個3°的莫比烏斯帶。我們知道，在平面上畫一個圓，再在圓内放一樣東西，假如在二度空間中将它拿出來，就不得不越過圓周。但在三度空間中，很容易不越過圓周就将其拿出來，放到圓外。将物體的軌迹連同原來的圓投影到二度空間中，就是一個“二維克萊因瓶”，即莫比烏斯帶（這裡的莫比烏斯帶是指拓撲意義上的莫比烏斯帶）。再設想一下，在我們的3°空間中，不可能在不打破蛋殼的前提下從雞蛋中取出蛋黃，但在四度空間裡卻可以。将蛋黃的軌迹連同蛋殼投影在三度空間中，必然可以看到一個克萊因瓶。
制造經曆
過去，德國數學家克萊因就曾提出了“不可能”設想，即拓撲學的大怪物－－克萊因瓶。這種瓶子根本沒有内、外之分，無論從什麼地方穿透曲面，到達之處依然在瓶的外面，所以，它本質上就是一個“有外無内”的古怪東西。盡管現代玻璃工業已經發展得非常先進，但是，所謂的“克萊因瓶”卻始終是大數學家克萊因先生腦子裡頭的“虛構物”，根本制造不出來。許多國家的數學家老是想造它一個出來，作為獻給國際數學家大會的禮物。然而，等待他們的是一個失敗接着一個失敗。也有人認為，即使造不出玻璃制品，能造出一個紙模型也不錯。如果真的解決了這個問題，那可是個大收獲！
因此，在過去，人們普遍認為克萊因瓶是不可能嵌入三維空間中的。在三維空間中，克萊因瓶必然跟自身相交，用數學的語言說，這樣得到的克萊因瓶在三維中的實現是克萊因瓶在三維空間中的浸入（immersion）。
發現者
菲利克斯·克萊因（Felix Christian Klein，1849年4月25日～1925年6月22日），德國數學家，生于德國杜塞多夫。他在埃爾朗根、慕尼黑和萊比錫當過教授，最後到了哥廷根，教授數學。他的主要課題是非歐幾何、群論和函數論。他的将各種幾何用它們的基礎對稱群來分類的愛爾蘭根綱領的發布影響深遠：是當時很多數學的一個綜合。著作有《高觀點下的初等數學》，他死于哥廷根。
1885年克萊因被英國皇家學會選為國外會員并被授予科普勒獎金。
1908年克萊因被國際數學會選為在羅馬召開的數學家大會主席。
在拓撲學、幾何學上有很多貢獻。他認識到群論的重要性，把群的概念廣泛應用于很多數學分支。在1872年，發表了著名的《埃爾蘭根綱領》。他提出了按照在變換群下保持不變的性質，來對幾何學加以分類的觀點，用群論統一了幾何學。對近代幾何學的發展有深遠的影響，并為狹義相對論的創立準備了條件。1886年以後，長期在哥廷根大學任教，是哥廷根學派全盛時期的傑出代表。他關于數學統一性的觀點，對希爾伯特有很大的影響。
他還提出，數學應該與實際緊密聯系。他組織了許多數學讨論班，通過教學活動使學生對數學的整體得到全面的認識。他在教定理時，隻講證明的梗概，而把證明留給學生自己去完成。他首先倡導改革中等教育的數學内容，對近代數學教育有重要的影響。
