數學術語
公理
設X是一個非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。當且僅當：
1．X和空集{}都屬于T；
2．T中任意多個成員的并集仍在T中；
3．T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。
定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）
從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。
一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。
同時，在拓撲範疇中，我們讨論連續映射。定義為：f: (X,T_1) ------> (Y,T_2) （T_1,T_2是上述定義的拓撲）是連續的當且僅當開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚當且僅當存在雙向互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。
例子
1．歐幾裡德空間在通常開集的意義下是拓撲空間，它的拓撲就是所有開集組成的集合。
2．設X是一個非空集合。則集合t：{X,{}}是X的一個拓撲。稱t為X的平凡拓撲。顯然（X,t）隻有兩個開集，X和{}。
3．設X是一個非空集合。則X的幂集T=2^X也是X的一個拓撲。稱T為X的離散拓撲。顯然X的任意子集都是(X,T)的開集。
4．一個具體的例子。設X={1，2}。則{X,{},{1}}是X的一個拓撲，{X,{},{2}}也是拓撲，{X,{},{1},{2}}是拓撲（由定義可知).
由來
1.哥尼斯堡七橋問題
在數學上，關于哥尼斯堡七橋問題、多面體歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。
哥尼斯堡（今俄羅斯加裡甯格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，将河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都隻走一遍，最後又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明确、理想的答案還不那麼容易。
1736年，有人帶着這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分别看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。
2.多面體的歐拉定理
在拓撲學的發展曆史中，還有一個着名而且重要的關于多面體的定理也和歐拉有關。這個定理内容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關系：f+v-e=2。
根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：隻存在五種正多面體。
它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
3.四色猜想
著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。 四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯·格思裡來到一家科研單位搞地圖着色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顔色着色，使得有共同邊界的國家都被着上不同的顔色。”
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分别提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精确計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由于演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億次判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數學家并不滿足于計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。
定義
拓撲學的英文名是Topology，直譯是地志學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。中國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它确定為拓撲學，這是按音譯過來的。
拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。
舉例來說，在通常的平面幾何裡，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麼這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裡所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裡沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。
性質
拓撲的中心任務是研究拓撲性質中的不變性。
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。
在拓撲學裡不讨論兩個圖形全等的概念，但是讨論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，隻要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。
應該指出，環面不具有這個性質。設想，把環面切開，它不至于分成許多塊，隻是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。
直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顔色來塗滿兩個側面。
莫比烏斯帶
公元1858年，莫比烏斯發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條具有魔術般的性質。因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顔色；而這樣的紙帶隻有一個面（即單側曲面），一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。
拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端翻一個身，
如同右圖那樣粘成一個莫比烏斯帶。現在像圖中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而像圖中那樣剪出一個兩倍長的紙圈！
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想象出來的事實，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套着的紙圈，而原先的兩條邊界，則分别包含于兩條紙圈之中，隻是每條紙圈本身并不打結罷了。
比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。剪開帶子之後再進行旋轉，然後重新粘貼則會變成數個Paradromic。
莫比烏斯帶常被認為是無窮大符号“∞”的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為“∞”的發明比莫比烏斯帶還要早。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決！
比如在普通空間無法實現的手套易位問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有着本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎麼扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來，那麼解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似于手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有着極大的不同。
“莫比烏斯帶”在生活和生産中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會隻磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就隻有一個面了。
橡皮幾何學
莫比烏斯帶是一種拓撲圖形，什麼是拓撲呢？拓撲所研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，隻要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不産生新點。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在着一一對應的關系，并且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲有一個形象說法——橡皮幾何學。因為如果圖形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進行拓撲變換。例如一個橡皮圈能變形成一個圓圈或一個方圈。但是一個橡皮圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數字8。因為不把圈上的兩個點重合在一起，圈就不會變成8,“莫比烏斯帶”正好滿足了上述要求。右下角是三角形莫比烏斯帶，左端綠色與右端黃色相連，扭曲的三角形莫比烏斯帶可以不斷循環：綠--黃---紅---綠---黃---…。拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這裡不再介紹。
拓撲學
拓撲學建立後，由于其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特别是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關于任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精确化描述的問題都可以應用集合來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關系。二十世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一緻性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯系。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，并推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程和其他許多數學分支中都有廣泛的應用。
美術術語
以3DSMAX軟件為例。創建對象和圖形後，将會為每個頂點和/或面指定一個編号。通常，這些編号是内部使用的，它們可以确定指定時間選擇的頂點或面。這種數值型的結構稱作拓樸。
選擇頂點或面，并對選擇對象應用修改器之後，該修改器堆棧将會記錄它影響的面/頂點。如果稍後返回到堆棧選擇層級，可以将該拓樸更改為應用該修改器。
術語拓樸參考了面和頂點的結構及其編号。
例如，通過仔細設置各種參數，可以使方框和圓柱體具有相同的頂點數。此後，您可能會認為，您可以使用該方框作為圓柱體的變形目标。但是，因為這兩個對象是使用大相徑庭的方法創建的，所以，這些對象頂點編号的順序将大不一樣。如果進行變形，會使每個帶有編号的頂點轉至變形目标上相應的位置。在這種情況下，即存在兩個拓樸結構大相徑庭的對象，如果從一個對象變形為另一個對象，會使該對象在變形時彎曲或内部外翻。
拓樸相關修改器可以對具有拓樸結構的顯式子對象執行選擇操作。對顯式頂點或面數執行操作或選擇的修改器包括“編輯網格”和“網格選擇”修改器。當堆棧中包含這些修改器時，如果訪問以前的堆棧操作，并更改向其傳遞的拓樸（面和頂點的數目和順序），可能會對結果産生負面影響。如果這樣做的話，拓樸相關警告會提示您注意這種情況。
簡單的說，所謂拓撲就是在原始基礎上進行模型的重新繪制，産生非常高效的模型。讓模型細節足夠而且面數非常少。有助于我們未來進行高級動畫的制作。不至于ZBrush産生的高精度模型不能用。
注：拓撲也稱拓樸
網絡術語
釋義
計算機網絡的拓撲結構是引用拓撲學中研究與大小，形狀無關的點、線關系的方法。把網絡中的計算機和通信設備抽象為一個點，把傳輸介質抽象為一條線，由點和線組成的幾何圖形就是計算機網絡的拓撲結構。網絡的拓撲結構反映出網中各實體的結構關系，是建設計算機網絡的第一步，是實現各種網絡協議的基礎，它對網絡的性能，系統的可靠性與通信費用都有重大影響。指連接各結點的形式與方法。
把網絡中的工作站和服務器等網絡單元抽象為“點”。網絡中的電纜等抽象為“線”。影響網絡性能、系統可靠性、通信費用。
分類
1.總線拓撲
總線拓撲結構是将網絡中的所有設備通過相應的硬件接口直接連接到公共總線上，結點之間按廣播方式通信，一個結點發出的信息，總線上的其它結點均可“收聽”到。優點：結構簡單、布線容易、可靠性較高，易于擴充，是局域網常采用的拓撲結構。缺點：所有的數據都需經過總線傳送，總線成為整個網絡的瓶頸；出現故障診斷較為困難。最著名的總線拓撲結構是以太網（Ethernet）。
2.星型拓撲
每個結點都由一條單獨的通信線路與中心結點連結。優點：結構簡單、容易實現、便于管理，連接點的故障容易監測和排除。缺點：中心結點是全網絡的可靠瓶頸，中心結點出現故障會導緻網絡的癱瘓。
3.環形拓撲
各結點通過通信線路組成閉合回路，環中數據隻能單向傳輸。優點：結構簡單、容易實現，适合使用光纖，傳輸距離遠，傳輸延遲确定。缺點：環網中的每個結點均成為網絡可靠性的瓶頸，任意結點出現故障都會造成網絡癱瘓，另外故障診斷也較困難。最著名的環形拓撲結構網絡是令牌環網（Token Ring）
4.樹型拓撲
是一種層次結構，結點按層次連結，信息交換主要在上下結點之間進行，相鄰結點或同層結點之間一般不進行數據交換。優點：連結簡單，維護方便，适用于彙集信息的應用要求。缺點：資源共享能力較低，可靠性不高，任何一個工作站或鍊路的故障都會影響整個網絡的運行。
5.網狀拓撲
又稱作無規則結構，結點之間的聯結是任意的，沒有規律。優點：系統可靠性高，比較容易擴展，但是結構複雜，每一結點都與多點進行連結，因此必須采用路由算法和流量控制方法。目前廣域網基本上采用網狀拓撲結構。
相關新聞
近日，中國科學院合肥物質科學研究院強磁場科學中心高壓研究團隊與安徽大學等合作，利用高壓研究手段，發現了準二維拓撲籠目（kagome）金屬CsV3Sb5中的雙dome型非常規超導電性。相關研究成果以Pressure-induced Reemergence of Superconductivity in Topological Kagome Metal CsV3Sb5為題，發表在Physical Review B上，并被選為亮點工作（Editors’ Suggestion）。nn非常規超導體因其有别于常規BCS理論的超導配對方式，是凝聚态物理領域研究的熱門課題。研究表明，通過壓力、摻雜或磁場等調控手段，非常規超導體表現出豐富的相圖。因此，在新穎量子材料中，實現對超導電性的有效調控将促進非常規超導物理的發展。nn研究團隊選取了準二維拓撲籠目金屬CsV3Sb5為研究對象，其中釩原子組成籠目晶格（圖中插圖）。該體系天然地融合了超導、電荷密度波與非平庸拓撲電子能帶結構等特性，為實現新奇物态的量子調控提供了良好的載體。科研人員利用金剛石對頂砧裝置産生高壓環境，通過電輸運及同步輻射X射線衍射實驗手段發現CsV3Sb5在7.5-16.5 GPa出現了超導的消失和複現，形成一對分離的超導dome（如圖）。同時，在約8 GPa下，晶格常數c/a比值也出現異常。基于實驗結果，研究提出超導的複現可能起源于Lifshitz轉變誘導的費米面重構。該研究提供了拓撲籠目金屬CsV3Sb5中非常規超導電性的清晰的實驗證據，有助于揭示其物理機制。
記者4月29日獲悉，南開大學物理科學學院、泰達應用物理研究院陳志剛、許京軍教授帶領的課題組與克羅地亞薩格勒布大學、希臘克裡特大學、德國羅斯托克大學的課題組合作研究，在國際上首次建立了一個非線性非厄米拓撲光子學平台，從而實現了利用非線性在光學體系對宇稱時間對稱性和非厄米拓撲态的調控。研究團隊還發現了非厄米體系中拓撲态在接近決定宇稱時間(PT)對稱破損的奇異點時，敏感性和魯棒性的拮抗效應，以及通過局域非線性對系統整體PT對稱性的操控原理。這一創新成果改變了人們對開放拓撲體系中非線性效應的認識，為非線性拓撲光子學及其相關前沿領域的研究開辟了新方向。該研究成果近日發表在國際權威期刊《科學》上。
近年來，拓撲光子學和非厄米光學成為光子學中兩個最活躍的新興研究領域。拓撲的概念最初來自數學，用來研究幾何圖形在連續形變下保持不變的性質。比如一個甜甜圈如不撕裂，無論怎樣拉伸、揉搓、收縮也不能等同于一個實心球。拓撲學中最知名的拓撲不變量是以南開大學陳省身先生命名的“陳數”。拓撲光子學的發展起源于凝聚态物理中拓撲物态的研究，起初拓撲概念引入到物理科學是用來解釋著名的量子霍爾效應，2016年諾貝爾物理學獎也因此頒發給了拓撲物态研究的先驅科學家。随後，拓撲的概念被擴展到光學中可以實現單向傳輸光波導和拓撲激光器，拓撲光子學逐漸成為光學和相關科學領域一個重要的前沿交叉領域。
另一方面,無論是在經典世界還是量子世界裡，非線性效應比比皆是，塑造了自然界的多元化也促進了應用科學的發展。比如，非線性響應是數字電子技術強大功能的關鍵，是人工神經網絡能夠執行複雜操作的根源，也是發展許多全新光子學技術的基礎。但是，對于一個同時具有拓撲特性與非厄米特性的複雜系統，目前對非線性效應的研究幾乎空白。主要的困難在于還沒有能找到或是搭建一個可調控的非線性非厄米拓撲光子學實驗平台。n針對這一空白，課題組利用自主研發的連續激光直寫技術，首次在非線性晶體中制備了非厄米拓撲光子晶格，實現了非線性對宇稱時間對稱性與非厄米拓撲态的調控。陳志剛介紹，結果顯示，局部非線性效應可以影響和改變系統的整體PT對稱性，可以引起拓撲态的産生和消失以及對非厄米奇異點的動态調控。n此項研究改變了人們對非線性複雜系統中多重特性相互作用的認知，為拓撲光子學和非厄米光學發展提供了新的研究方向, 也為開發新一代光子學器件比如拓撲激光帶來了前景。
