發展簡史
希爾伯特零點定理（Hilbert'sNullstellensatz）是古典代數幾何的基石，它給出了域上的維仿射空間中的代數集與域上的元多項式環的根理想的一一對應關系。
對于一個函數，若存在實數，使則稱為函數的零點，又稱為方程的實根．如果函數為閉區間上的連續函數，那麼我們就可以利用連續函數的零點定理來判斷函數是否存在零點，同時也可以利用微積分的知識來解決零點個數問題。
定理定義
設實數，設是在閉區間上的連續函數，并且滿足條件。
則存在點，使得
該定理又被稱作零點定理、零值定理、零點存在定理、根的存在定理，等等。
驗證推導
不妨設
令
由 知 , 且 為 的一個上界，于是根據确界存在原理，
存在 .
下證 (注意到 , 故此時必有.) .
事實上，
(i)若 , 則. 由函數連續的局部保号性知
存在 , 對 存在 ,
這與 為 的上界矛盾;
(ii)若 , 則 . 仍由函數連續的局部保号性知
存在 , 對 存在 為 的一個上界，且 , 這又與 為的最小上界矛盾。
綜合(i)(ii)，即推得 。
我們還可以利用閉區間套定理來證明零點定理 。
另，零點定理是介值定理的特殊情況。
定理意義
零點定理屬于介值定理的特殊情況，該定理意味着，在世界各地的任何一個大環境中，對于溫度，壓力，高程，二氧化碳濃度來說，如果是連續變化的，那麼總是會存在兩個與該變量相同值的對映點。
