貝塞爾函數:數學上特殊函數-中文百科頻道

基本内容

貝塞爾函數（Bessel functions）是數學上的一類特殊函數的總稱。一般貝塞爾函數是下列常微分方程（一般稱為'''貝塞爾方程'''）的标準解函數。

這類方程的解是無法用初等函數系統地表示的。可以運用自動控制理論中的相平面法進行定性分析。

α被稱為其對應貝塞爾函數的階數）。實際應用中最常見的情形為α是整數''n''，對應解稱為'''''n'' 階貝塞爾函數'''。

盡管在上述微分方程中，α本身的正負号不改變方程的形式，但實際應用中仍習慣針對α和-α定義兩種不同的貝塞爾函數（這樣做能帶來好處，比如消除了函數在α=0 點的不光滑性）。

定義

貝塞爾方程是一個二階常微分方程，必然存在兩個矢量|線性無關的解。針對各種具體情況，人們提出了表示這些解的不同形式。下面分别介紹這些不同類型的貝塞爾函數。

曆史

貝塞爾函數的幾個正整數階特例早在18世紀中葉就由瑞士數學家丹尼爾·伯努利在研究懸鍊振動時提出了，當時引起了數學界的興趣。丹尼爾·伯努利|丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，萊昂哈德·歐拉|歐拉、約瑟夫·路易斯·拉格朗日|拉格朗日等數學大師對貝塞爾函數的研究作出過重要貢獻。

1817年，德國數學家弗裡德裡希·威廉·貝塞爾|貝塞爾在研究約翰内斯·開普勒|開普勒提出的三體萬有引力|引力系統的運動問題時，第一次系統地提出了貝塞爾函數的總體理論框架，後人以他的名字來命名了這種函數 [http://www.XXX/eb/article-9078932] [http://www-history.mcs.st-andrews.xx.xx/Biographies/Bessel.html]。

現實背景和應用範圍

貝塞爾方程是在柱坐标或球坐标下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式 α = ''n''；在球形域問題中得到的是半奇數階形式 α = ''n''+½），因此貝塞爾函數在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問題有：

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* 在圓柱形波導中的電磁波傳播問題；

* 圓柱體中的熱傳導定律|熱傳導問題；

* 圓形（或環形）薄膜的振動模态分析問題；

在其他一些領域，貝塞爾函數也相當有用。譬如在信号處理中的調頻合成（w:Frequency modulation synthesis|FM synthesis）或凱澤窗（w:Kaiser window|Kaiser window）的定義中，都要用到貝塞爾函數。

第一類函數

第一類α階貝塞爾函數''J''α(''x'')是貝塞爾方程當α為整數或α非負時的解，須滿足在''x'' = 0 時有限。這樣選取和處理''J''α的原因見本主題下面的貝塞爾函數#性質|性質介紹；另一種定義方法是通過它在''x'' = 0 點的泰勒級數展開（或者更一般地通過幂級數展開，這适用于α為非整數）：上式中，為Γ函數（它可視為階乘|階乘函數向非整型因變量和自變量|自變量的推廣）。

第一類貝塞爾函數的形狀大緻與按1/sqrt x 速率衰減的正弦或三角函數|餘弦函數類似（參見本頁下面對它們漸進形式的介紹），但它們的零點并不是周期性的，另外随着''x''的增加，零點的間隔會越來越接近周期性。圖2所示為0階、1階和2階第一類貝塞爾函數J_alpha (x)的曲線（alpha = 0, 1, 2）。

如果α不為整數，則J_alpha (x)和J_{-alpha} (x)線性無關，可以構成微分方程的一個'''解系'''。反之若alpha是整數，那麼上面兩個函數之間滿足如下關系：

:J_{-alpha}(x) = (-1)^{alpha} J_{alpha}(x),

于是兩函數之間已不滿足線性無關條件。為尋找在此情況下微分方程與J_alpha (x)線性無關的另一解，需要定義'''第二類貝塞爾函數'''，定義過程将在後面的小節中給出。

積分

alpha為整數時貝塞爾函數的另一種定義方法由下面的積分給出：

:J_alpha (x) = frac{1}{2 pi} int_{0}^{2 pi} cos (alpha tau - x sin tau) dtau.

（alpha為任意實數時的表達式見貝塞爾函數#參考文獻|參考文獻第360頁）

這個積分式就是貝塞爾當年提出的定義，而且他還從該定義中推出了函數的一些性質。另一種積分表達式為：

:J_alpha (x) = frac{1}{2 pi} int_{-pi}^{pi} e^{i(alpha tau - x sin tau)} dtau

和超幾何級數的關系

貝塞爾函數可以用超幾何級數表示成下面的形式：

:J_alpha(z)=frac{(z/2)^alpha}{Gamma(alpha+1)} ;_0F_1 (alpha+1; -z^2/4).

第二類函數（諾依曼函數）

image:BesselY_plot.svg|right|thumb|400px|'''圖3''' 0階、1階和2階第二類貝塞爾函數（貝塞爾''Y'' 函數）曲線圖

（''在下文中，第二類貝塞爾函數有時會簡稱為“Y函數”，敬請讀者留意。''）

'''第二類貝塞爾函數'''也許比第一類更為常用。

這種函數通常用''Y''α(''x'')表示，它們是貝塞爾方程的另一類解。''x'' = 0 點是第二類貝塞爾函數的（無窮）奇點。

''Y''α(''x'')又被稱為'''諾依曼函數'''（Neumann function），有時也記作''N''α(''x'')。它和''J''α(''x'')存在如下關系：

:Y_alpha(x) = frac{J_alpha(x) cos(alphapi) - J_{-alpha}(x)}{sin(alphapi)},

若α為整數（此時上式是0/0型未定式）則取右端的極限值。

從前面對''J''α(''x'')的定義可以知道，若α不為整數時，定義''Y''α是多餘的（因為貝塞爾方程的兩個線性無關解都已經用J函數表示出來了）。另一方面，若α為整數，''Y''''α''便可以和''J''''α''構成貝塞爾方程的一個解系。與J函數類似，Y函數正負整數階之間也存在如下關系：

:Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x),

''J''α(''x'')和''Y''α(''x'')均為沿負實半軸割開的複數 (數學)#.E5.A4.8D.E5.B9.B3.E9.9D.A2|複平面内關于''x''的全純函數。當α為整數時，複平面内不存在貝塞爾函數的支點，所以''J'' 和''Y'' 均為''x'' 的整函數。若将''x'' 固定，則貝塞爾函數是α的整函數。圖3所示為0階、1階和2階第二類貝塞爾函數Y_alpha ：

漢開爾函數

貝塞爾方程的另外一對重要的線性無關解稱為'''赫爾曼·漢開爾|漢開爾函數'''（Hankel functions）''H''α(1)(''x'')和''H''α(2)(''x'')，分别定義為：

:H_alpha^{(1)}(x) = J_alpha(x) + i Y_alpha(x)

:H_alpha^{(2)}(x) = J_alpha(x) - i Y_alpha(x)

其中''i'' 為虛數單位sqrt { - 1}。以上的線性組合也成為'''第三類貝塞爾函數'''；它們描述了二維波動方程的内行柱面波解和外行柱面波解（"行"與在"行動"中同音）。

利用前面推出的關系可将漢開爾函數表示成：

:H_{alpha}^{(1)} (x) = frac{J_{-alpha} (x) - e^{-alpha pi i} J_alpha (x)}{i sin (alpha pi)}

:H_{alpha}^{(2)} (x) = frac{J_{-alpha} (x) - e^{alpha pi i} J_alpha (x)}{- i sin (alpha pi)}

若α為整數，則須對等号右邊取極限值。另外，無論α是不是整數，下面的關系都成立：

:H_{-alpha}^{(1)} (x)= e^{alpha pi i} H_{alpha}^{(1)} (x)

:H_{-alpha}^{(2)} (x)= e^{-alpha pi i} H_{alpha}^{(2)} (x)

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虛宗量函數

貝塞爾函數當宗量''x'' 為複數|複數時同樣成立，并且當''x'' 為純虛數時能得到一類重要情形——它們被稱為第一類和第二類'''虛宗量的貝塞爾函數'''，或'''修正貝塞爾函數'''（有時還稱為'''雙曲型貝塞爾函數'''），定義為：

:I_alpha(x) = i^{-alpha} J_alpha(ix) !

:K_alpha(x) = frac{pi}{2} frac{I_{-alpha} (x) - I_alpha (x)}{sin (alpha pi)} = frac{pi}{2} i^{alpha+1} H_alpha^{(1)}(ix) !

以上形式保證了當宗量''x'' 為實數時，函數值亦為實數。這兩個函數構成了下列'''修正貝塞爾方程'''（與一般貝塞爾方程的差别僅在兩個正負号）的一個相互線性無關的解系：

:x^2 frac{d^2 y}{dx^2} + x frac{dy}{dx} - (x^2 + alpha^2)y = 0.

修正貝塞爾函數與一般貝塞爾函數的差别在于：一般貝塞爾函數随實宗量是振蕩型的，而修正貝塞爾函數''I''α 和''K''α則分别是指數增長和指數衰減型的。和第一類貝塞爾函數''J''α一樣，函數''I''α當α > 0 時在''x''=0 點等于0，當α=0時在''x''=0 點趨于有限值。類似地，''K''α在''x''=0 點發散（趨于無窮）。

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''複數宗量的貝塞爾函數之零值''：J_alpha (x) = 0的解在α≥-1的情況下都是實數；階數-2>α>-1的情況下，除了實數之外還有且僅有一對共轭的純虛數解（G.N Watson 貝塞爾函數#參考文獻|參考文獻）。

球函數

若使用分離變量法求解球坐标下的三維拉普拉斯方程，則可得到如下形式關于徑向（''r'' 方向）分量的常微分方程：

:x^2 frac{d^2 y}{dx^2} + 2x frac{dy}{dx} + [x^2 - n(n+1)]y = 0.

關于上述方程的一對線性無關解稱為'''球貝塞爾函數'''，分别用''j''''n''和''y''''n''表示（有時也記為''n''''n''）。這兩個函數與一般貝塞爾函數''J''''n''和''Y''''n'' 存在關系：

:j_n(x) = sqrt{frac{pi}{2x}} J_{n+1/2}(x),

:y_n(x) = sqrt{frac{pi}{2x}} Y_{n+1/2}(x) = (-1)^{n+1} sqrt{frac{pi}{2x}} J_{-n-1/2}(x).

球貝塞爾函數也可寫成：

:j_n(x) = (-x)^n left(frac{1}{x}frac{d}{dx}right)^n,frac{sin x}{x} ,

0階第一類球貝塞爾函數j_0(x)又稱為sinc函數。頭幾階整階球貝塞爾函數的表達式分别為：

第一類：

:j_0(x)=frac{sin x} {x}

:j_1(x)=frac{sin x} {x^2}- frac{cos x} {x}

:j_2(x)=left(frac{3} {x^2} - 1 right)frac{sin x}{x} - frac{3cos x} {x^2}

第二類：

:y_0(x)=-j_{-1}(x)=-,frac{cos x} {x}

:y_1(x)=j_{-2}(x)=-,frac{cos x} {x^2}- frac{sin x} {x}

:y_2(x)=-j_{-3}(x)=left(-,frac{3}{x^2}+1 right)frac{cos x}{x}- frac{3 sin x} {x^2}.

還可以依照前面構造漢開爾函數相同的步驟構造所謂球漢開爾函數：

:h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x)

:h_n^{(2)}(x) = j_n(x) - i y_n(x).

事實上，所有半奇數階貝塞爾函數都可以寫成由三角函數組成的封閉形式的表達式，球貝塞爾函數也同樣可以。特别地，對所有非負整數''n''，存在：

:h_n^{(1)}(x) = (-i)^{n+1} frac{e^{ix}}{x} sum_{m=0}^n frac{i^m}{m!(2x)^m} frac{(n+m)!!}{(n-m)!!}

而對實自變量''x''，''h''''n''(2)是上面''h''''n''(1)的複共轭（!! 表示'''雙階乘|階乘'''）。由此我們可以通過得到''h''，再分離實部虛部，求出相應階''j'' 和''h'' 的表達式，譬如''j''0(''x'') = sin(''x'')/''x''，''y''0(''x'') = -cos(''x'')/''x''，等等。

黎卡提函數

黎卡提-貝塞爾函數（Riccati-Bessel functions）和球貝塞爾函數比較類似：

:S_n(x)=x j_n(x)=sqrt{pi x/2}J_{n+1/2}(x)

:C_n(x)=-x y_n(x)=-sqrt{pi x/2}Y_{n+1/2}(x)

:zeta_n(x)=x h_n^{(2)}(x)=sqrt{pi x/2}H_{n+1/2}^{(2)}(x)=S_n(x)+iC_n(x)

該函數滿足方程：

:x^2 frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0

這個方程以及相應的黎卡提-貝塞爾解是德國物理學家古斯塔夫·米（w:Gustav Mie|Gustav Mie）于1908年研究電磁波在球狀顆粒表面散射問題時提出的，後人将這種散射稱為米氏散射（w:Mie theory|Mie scattering）。這個問題近幾年的進展可參見文獻 Du (2004)。

後人有時會遵從彼得·德拜|德拜（w:Peter Debye|Debye）在1909年的論文中的記法，用psi_n,chi_n 代替前面的S_n,C_n。

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漸近形式

貝塞爾函數在α非負時具有下面的漸近形式。當自變量''x'' 為小量，即0 < x ll sqrt{alpha + 1}時，有：

:J_alpha(x) rightarrow frac{1}{Gamma(alpha+1)} left( frac{x}{2} right) ^alpha

:Y_alpha(x) rightarrow left{ begin{matrix}

frac{2}{pi} left[ ln (x/2) + gamma right] & mbox{if } alpha=0

-frac{Gamma(alpha)}{pi} left( frac{2}{x} right) ^alpha & mbox{if } alpha > 0

end{matrix} right.

式中γ為歐拉-馬歇羅尼常數（也叫歐拉常數，等于 0.5772156649...），Γ為Γ函數。對于很大的''x''，即x gg |alpha^2 - 1/4|時，漸近形式為：

:J_alpha(x) rightarrow sqrt{frac{2}{pi x}}

cos left( x-frac{alphapi}{2} - frac{pi}{4} right)

:Y_alpha(x) rightarrow sqrt{frac{2}{pi x}}

sin left( x-frac{alphapi}{2} - frac{pi}{4} right).

（α=1/2 時漸近号兩邊嚴格相等；參見前面對球貝塞爾函數的介紹）。其他形式貝塞爾函數的漸近形式可以從上面的式子直接推得。譬如，對大自變量x gg |alpha^2 - 1/4|，修正貝塞爾函數的漸近形式為：

:I_alpha(x) rightarrow frac{1}{sqrt{2pi x}} e^x,

:K_alpha(x) rightarrow sqrt{frac{pi}{2x}} e^{-x}.

對小自變量0 < x ll sqrt{alpha + 1}：

:I_alpha(x) rightarrow frac{1}{Gamma(alpha+1)} left( frac{x}{2} right) ^alpha

:K_alpha(x) rightarrow left{ begin{matrix}

- ln (x/2) - gamma & mbox{if } alpha=0

frac{Gamma(alpha)}{2} left( frac{2}{x} right) ^alpha & mbox{if } alpha > 0

end{matrix} right.

性質

整階（α = ''n''）第一類貝塞爾函數''J''''n''常通過對其'''母函數'''（''generating function''）的羅朗級數（w:Laurent series|Laurent series）展開來定義：

:e^{(x/2)(t-1/t)} = sum_{n=-infty}^infty J_n(x) t^n,

上式得左邊即為整階第一類貝塞爾函數的母函數，這是丹麥天文學家w:Peter Andreas Hansen|漢森于1843年提出的。（這種定義也可以通過路徑積分或其他方法推廣到非整數階）。整階函數的另一個重要性質是下列'''雅可比-安格爾恒等式'''（''Jacobi-Anger identity''）：

:e^{iz cos phi} = sum_{n=-infty}^infty i^n J_n(z) e^{inphi},

利用這一等式可以将平面波展開成一系列柱面波的疊加，或者将頻率調制|調頻信号分解成傅裡葉級數的疊加。

函數''J''α、''Y''α、''H''α(1)和''H''α(2)均滿足遞推關系：

:Z_{alpha-1}(x) + Z_{alpha+1}(x) = frac{2alpha}{x} Z_alpha(x)

:Z_{alpha-1}(x) - Z_{alpha+1}(x) = 2frac{dZ_alpha}{dx}

其中''Z''代表''J'', ''Y'', ''H''(1)或''H''(2)。（常将這兩個恒等式聯立推出其他關系）。從這組遞推關系可以通過低階貝塞爾函數（或它們的低階導數）計算高階貝塞爾函數（或它們的高階導數）。特别地，有：

:left( frac{d}{x dx} right)^m left[ x^alpha Z_{alpha} (x) right] = x^{alpha - m} Z_{alpha - m} (x)

:left( frac{d}{x dx} right)^m left[ frac{Z_alpha (x)}{x^alpha} right] = (-1)^m frac{Z_{alpha + m} (x)}{x^{alpha + m}}

由于貝塞爾方程對應的作用算符除以''x'' 後便是一個（自伴随的）厄米算符（w:Hermitian|Hermitian），所以它的解在适當的邊界條件下須滿足正交性關系。特别地，可推得：

:int_0^1 x J_alpha(x u_{alpha,m}) J_alpha(x u_{alpha,n}) dx = frac{delta_{m,n}}{2} J_{alpha+1}(u_{alpha,m})^2,

其中α > -1，δ''m'',''n''為克羅内克爾δ，''u''α,m表示''J''α(''x'')的第''m'' 級零點。這個正交性關系可用于計算傅裡葉-貝塞爾級數中各項的系數，以利用該級數将任意函數寫成α固定、''m'' 變化的函數''J''α(''x'' ''u''α,m)的無窮疊加形式。（可以立即得到球貝塞爾函數相應的關系）。

另一個正交性關系是下列在α > -1/2時成立的“封閉方程”（''closure equation''）：

:int_0^infty x J_alpha(ux) J_alpha(vx) dx = frac{1}{u} delta(u - v)

其中δ為狄拉克δ函數。球貝塞爾函數的正交性條件為（當α > 0）：

:int_0^infty x^2 j_alpha(ux) j_alpha(vx) dx = frac{pi}{2u^2} delta(u - v)

貝塞爾方程的另一個重要性質與其朗斯基行列式（w:Wronskian|Wronskian）相關，由阿貝爾恒等式（w:Abel's identity|Abel's identity）得到：

:A_alpha(x) frac{dB_alpha}{dx} - frac{dA_alpha}{dx} B_alpha(x) = frac{C_alpha}{x},

其中''A''α 和''B''α是貝塞爾方程的任意兩個解，''C''α是與''x'' 無關的常數（由α和貝塞爾函數的種類決定）。譬如，若''A''α = ''J''α、''B''α = ''Y''α，則''C''α is 2/π。該性質在修正貝塞爾函數中同樣适用，譬如，若''A''α = ''I''α、''B''α = ''K''α，則''C''α為-1。