定义1
三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
且任意三角形的角平分线都在三角形内部。
三角形三条角平分线永远交三角形内部于一点，这个点我们称之为内心
定义2
三角形的一个内角平分线与这个角的对边所在直线相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形内角平分线。
由定义可知，三角形的内角平分线是一条线段。
三角形有六个外角，所以三角形有六条外角平分线。
把一个角平均分成两个角的线段或射线叫做这个角的平分线。
三角形的三条角平分线相交于一点，这一点称为三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。
定理
三角形内角平分线的性质定理：三角形的内角平分线内分对边成两条线段，那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形内角平分线的判定定理：在Rt△ABC中，若点D按照边AB和边AC的比内分边BC，则线段AD是∠BAC的平分线。
三角形外角平分线的性质定理：三角形的外角平分线分对边成两条线段，那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。三角形外角平分线的判定定理：在Rt△ABC中，若点D按照边AB和边CD的比外分边BC，则线段AD是Rt△ABC的角∠BAC的外角平分线。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
性质
设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
1、三角形的外角平分线都在三角形外。
2、三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点，该点叫做三角形的旁心。
3、三角形角平分线有个有趣的性质：三角形ABC中角A的平分线为AD，则AB:AC=BD:CD。(可用面积法证明)
4、三角形的角平分线都在三角形内。
5、设三角形ABC，∠A平分线AD，AB=c,AC=b,BC=a,半周长p=(a+b+c)/2,
三条角平分线为ta,tb,tc,AD=ta,Be=tb,CF=tc,
根据角平分线性质，BD/CD=c/b,(角平分对边二部分之比为其邻边之比），
(b+c)/b=(BD+CD)/CD=a/CD,（合比）
CD=ab/(b+c),
在△ADC中，根据余弦定理，
AD^2=b^2+CD^2-2CD*b*cosC
=b^2+a^2b^2/(b+c)^2-2ab^2*cosC/(b+c),
根据余弦定理，cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
AD^2= b^2+a^2b^2/(b+c)^2-b(a^2+b^2-c^2)/(b+c)
AD^2=bc[(b+c)^2-a^2]/(b+c)^2=bc[(b+c-a)(b+c+a)]/(b+c)^2,
Ta=AD=√[(bc*2p*(2p-2a))/(b+c)
=[2/(b+c)]√[bcp(p-a)].
同理可证，tb=[2/(a+c)]√[acp(p-b)].
tc=[2/(a+b)]√[abp(p-c)].
6、三角形的三条角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。常记作点I。
