定义
在工程实际问题的优化设计中,所列的目标函数往往很复杂,为了使问题简化,常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数。
二元函数的黑塞矩阵
由高等数学知识可知,若一元函数 在 点的某个邻域内具有任意阶导数,则 在 点处的泰勒展开式为: ,其中 , 。
二元函数 在 点处的泰勒展开式为:
其中,
将上述展开式写成矩阵形式,则有:
即:
其中:
是 在 点处的黑塞矩阵。它是由函数 在 点处的二阶偏导数所组成的方阵。
多元函数的黑塞矩阵
将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数,则 在 点处的泰勒展开式的矩阵形式为:
其中:
,它是 在 点处的梯度。
黑塞矩阵是由目标函数 在点处的二阶偏导数组成的 阶对称矩阵。
对称性
如果函数 在 区域内二阶连续可导,那么 黑塞矩阵 在 内为对称矩阵。
原因:如果函数 的二阶偏导数连续,则二阶偏导数的求导顺序没有区别,即
则对于矩阵 ,有 ,所以 为对称矩阵。
应用
定理
设n多元实函数 在点 的邻域内有二阶连续偏导
并且
则有如下结果:
(1)当A正定矩阵时, 在 处是极小值;
(2)当A负定矩阵时, 在 处是极大值;
(3)当A不定矩阵时, 不是极值点。
(4)当A为半正定矩阵或半负定矩阵时, 是“可疑”极值点,尚需要利用其他方法来判定。
实例
求三元函数的极值。
解:因为,,故该三元函数的驻点是.
又因为,,,,,
故有:
因为A是正定矩阵,故是极小值点,且极小值