偏微分方程:數學方程-中文百科頻道

方程

方程解釋

客觀世界的物理量一般是随時間和空間位置而變化的，因而可以表達為時間坐标t和空間坐标的函數，這種物理量的變化規律往往表現為它關于時間和空間坐标的各階變化率之間的關系式，即函數u關于t與的各階偏導數之間的等式。

例如在一個均勻的傳熱物體中,溫度u就滿足下面的等式：

(1)這樣一類的包含未知函數及其偏導數的等式稱為偏微分方程。一般說來，如果x是自變量，以u為未知函數的偏微分方程的一般形式是

(2)這裡F是它的變元的函數，

所包含的偏導數的最高階數稱為偏微分方程的階數。

由若幹個偏微分方程所構成的等式組就稱為偏微分方程組，其未知函數也可以是若幹個。當方程的個數超過未知函數的個數時，就稱這偏微分方程組為超定的；當方程的個數少于未知函數的個數時，就稱為欠定的。

如果一個偏微分方程（組）關于所有的未知函數及其導數都是線性的，則稱為線性偏微分方程（組）。否則，稱為非線性偏微分方程（組）。在非線性偏微分方程（組）中，如果對未知函數的最高階導數來說是線性的，那麼就稱為拟線性偏微分方程（組）。

設Ω是自變數空間R中一個區域，u是在這個區域上定義的具|α|階連續導數的函數。如果它能使方程(2)在Ω上恒等成立，那麼就稱u是該方程在Ω中的一個經典意義下的解，簡稱為經典解。在不緻誤會的情況下，就稱為解。

偏微分方程理論研究一個方程（組）是否有滿足某些補充條件的解（解的存在性），有多少個解（解的惟一性或自由度），解的各種性質以及求解方法等等，并且還要盡可能地用偏微分方程來解釋和預見自然現象以及把它用之于各門科學和工程技術。偏微分方程理論的形成和發展都與物理學和其他自然科學的發展密切相關，并彼此促進和推動。其他數學分支，如分析學、幾何學、代數學、拓撲學等理論的發展也都給予偏微分方程以深刻的影響。

另一種概述

在科學技術日新月異的發展過程中，人們研究的許多問題用一個自變量的函數來描述已經顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質，溫度、密度等是用數值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀态的描述出的量叫做張量，等等。這些量不僅和時間有關系，而且和空間坐标也有聯系，這就要用多個變量的函數來表示。

應該指出，對于所有可能的物理現象用某些多個變量的函數表示，隻能是理想化的，如介質的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質的質量和體積的比當體積無限縮小的時候的極限，這就是理想化的。介質的溫度也是這樣。這樣就産生了研究某些物理現象的理想了的多個變量的函數方程，這種方程就是偏微分方程。

起源

微積分方程這門學科産生于十八世紀，歐拉在他的着作中最早提出了弦振動的二階方程，随後不久，法國數學家達朗貝爾也在他的着作《論動力學》中提出了特殊的偏微分方程。這些着作當時沒有引起多大注意。1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式。這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科。

和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·貝努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也讨論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的内容。

偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來了，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這裡應該提一提法國數學家傅立葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。

示例

偏微分方程是什麼樣的？它包括哪些内容？這裡我們可從一個例子的研究加以介紹。

弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不适用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若幹個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。

弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊着具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然隻有其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。

用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、抛物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。

偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。

拿上面所舉的弦振動的例子來說，對于同樣的弦的弦樂器，如果一種是以薄片撥動弦，另一種是以弓在弦上拉動，那麼它們發出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動”或“拉動”的那個“初始”時刻的振動情況不同，因此産生後來的振動情況也就不同。

天文學中也有類似情況，如果要通過計算預言天體的運動，必須要知道這些天體的質量，同時除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統的初始狀态，就是在某個起始時間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數學物理方程的時候，總會有類似的附加條件。

就弦振動來說，弦振動方程隻表示弦的内點的力學規律，對弦的端點就不成立，所以在弦的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫做邊值問題。

當然，客觀實際中也還是有“沒有初始條件的問題”，如定場問題（靜電場、穩定濃度分布、穩定溫度分布等），也有“沒有邊界條件的問題”，如着重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象的成為無邊界的弦了。

在數學上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達同一類物理現象的共性，是作為解決問題的依據；定解條件卻反映出具體問題的個性，它提出了問題的具體情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問題。

求偏微分方程的定解問題可以先求出它的通解，然後再用定解條件确定出函數。但是一般來說，在實際中通解是不容易求出的，用定解條件确定函數更是比較困難的。

偏微分方程的解法還可以用分離系數法，也叫做傅立葉級數；還可以用分離變數法，也叫做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數法可以求解有界空間中的定解問題，分離變數法可以求解無界空間的定解問題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的定解。對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程後進行反演就可以了。

應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，隻可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。

常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然後用計算機進行計算；還有一種更有意義的模拟法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體裡的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。

随着物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用範圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。

解法：1，首先變為标準型，看是哪種類型，如橢圓型，雙曲型。抛物型。

2，歸結為四大基本方程：波動，熱傳導，傳輸，

3。按其解法解決

圖書

書名：偏微分

方程

作者：孔德興

出版社：高等教育出版社

出版時間：2010年9月1日

ISBN:9787040304480

開本：16開

定價：45.30元

内容簡介

《偏微分方程》共分八章：第一章為緒論；第二、三章分别介紹了一階方程、具有兩個自變量的二階方程的基本知識；第四、五、六章分别介紹了三類基本方程：波動方程、熱傳導方程和Laplace方程的定解問題的适定性、求解方法及解的性質；第七章主要介紹了一階拟線性雙曲守恒律方程組的一些基本知識；第八章介紹了Cauehy-Kovalevskaya定理。另有兩個附錄：Fourier反演公式；Li-Yau估計。《偏微分方程》不僅把注意力集中在傳統的偏微分方程基礎知識上，而且還有目的地介紹一些當代數學知識，譬如在幾何分析中具有重要作用的Li-Yau估計和Hamack不等式等。《偏微分方程》的另一特點是，除在每節後面為讀者準備了一些習題之外，還在一些章節後面為讀者準備了一些思考題和“開放問題（open problem）”。這些問題具有一定的啟發性，對提高學生對本門課程的學習興趣有很大幫助。

《偏微分方程》可作為高等院校數學系學生的教材，也可供數學、力學和物理學等相關專業的工作者參考。