簡介
無窮大量是數學分析中的一個概念，用以嚴格地定義“絕對值比任何數都大的量”。通常用符号 {displaystyle infty } 表示，無窮大量是一個變量，并不是通常意義上“很大的量”。
無窮大量的性質
無窮大量是無界量；
無窮大量和有界量的和差仍是無窮大量；
同号的無窮大量之和仍是同号的無窮大量；
如果數列 {displaystyle {a_{n}}} 是無窮大量，{displaystyle cin mathbb {R} -{0}}，則 {displaystyle {ca_{n}}} 也是無窮大量。
如果數列 {displaystyle {a_{n}}} 是無窮大量，且有另一數列 {displaystyle {b_{n}}} 滿足 {displaystyle exists Nin mathbb {N^{+}} ,delta >0} 當 {displaystyle n>N} 時有 {displaystyle |b_{n}|>delta }，則 {displaystyle {a_{n}cdot b_{n}}} 也是無窮大量。
如果數列 {displaystyle {a_{n}}} 是無窮大量，且有另一數列 {displaystyle {b_{n}}} 滿足 {displaystyle lim _{nto infty }{b_{n}}=cneq 0}，則 {displaystyle {a_{n}cdot b_{n}}} 也是無窮大量。
無窮大量的階
如同無窮小量一樣，無窮大量也可以進行階的比較，但我們一般不說某個無窮大量的階數。這裡以函數的 {displaystyle xto x_{0}} 這一極限過程為例，設 {displaystyle f(x),g(x)} 為 {displaystyle xto x_{0}} 的無窮大量。
如果 {displaystyle lim _{xto x_{0}}{dfrac {f(x)}{g(x)}}=infty }，則稱當 {displaystyle xto x_{0}} 時 {displaystyle f(x)} 為 {displaystyle g(x)} 的高階無窮大量，同時稱 {displaystyle g(x)} 為 {displaystyle f(x)} 的低階無窮大量。若存在 {displaystyle A,Bin mathbb {N^{+}} }，使得在 {displaystyle U(x_{0})} 上有 {displaystyle Aleqslant left|{dfrac {f(x)}{g(x)}}right|leqslant B}，我們稱 {displaystyle g(x)} 與 {displaystyle f(x)} 互為同階無窮大量。
無窮大量與無窮小量的關系
Th.1 設定義在 {displaystyle U^{circ }(x_{0};delta )} 上的函數 {displaystyle f(x)}。若其滿足 {displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=infty }，則有 {displaystyle lim _{xto x_{0}}{dfrac {1}{f(x)}}=0}；若其滿足 {displaystyle lim _{xto x_{0}}f(x)=0}，則有 {displaystyle lim _{xto x_{0}}{dfrac {1}{f(x)}}=infty .}
量子電動力學的無窮大量
現代物理理論探索中，量子場論的創建首先是由狄拉克在1927年寫下電子的相對論方程開始的。在他的框架中，電磁場是無窮維振動的叠加，每一維振動的能量取一系列分立的數值，使其量子化，而振動中被繳發時能級态的上下躍遷，就對應着光子的産生與湮滅。1928年約當和維格納引入了電子場的概念，給出了狄拉克的電子相對論量子力學方程的全新解釋，并仿照狄拉克的電磁場量子化方式，建立了電子場的量子化理論，稱量子電動力學，一般用“QED”表示。該理論于1929年受到了海森堡和泡利的進一步研究。
在QED中：電磁場是矢量場，其量子φ是自旋為1的光子，為玻色子，反粒子就是它自己；而電子場ψ是旋量場，其量子則是自旋為1/2的電子，為費米子，它的反粒子是正電子；ψ是以電流的形式與φ相耦合的，而φ則具有定域規範對稱性，可以用U（1）群描述；ψ激發時能态的上下躍遷，就對應着正負電子對的産生與湮滅。
由于QED有上述簡單約定，就可以描述包括粒子産生和湮滅在内的多粒子系統，能夠與實驗高度一緻，因此它便被現代物理學普遍接受，并把同樣的手段和方法類推到了弱電作用的統一及強相互作用，構建出了衆人稱頌的規範理論的标準模型。
（一）
QED中電子之間的相互作用，被規定為是電流之間通過電磁場φ為媒介發生的耦合，由于理論家們并能直接求解相互作用方程，隻能求解自由場方程，因此在具體求解相互作用方程時，就把相互作用看成一種對自由場的微弱的擾動，把與實驗相關的散射截面和衰變寬度等物理量表示成是相互作用強度α的幂級數，由于α=1/137很小，所以就可以逐級求出它的近似解。這種方法稱之為微擾論。這是一種求解電子相互作用方程的有效的近似方法。
微擾論的所有最低級近似計算都很簡單，而且與當時的實驗結果符合得很好，但是如果把精度再提高一級，上述構想就暴露出了嚴重的問題。
1930年，美國物理學家奧本海默計算了電子與它自己的電磁場φ的相互作用。由于φ是具有連續無窮維自由度系統，每一維自由度都會不斷發射或吸收虛光子、及由于真空極化形成的正負虛電子對的産生與湮滅，它與電子場ψ是二元存在。奧本海默的計算涉及到了對φ的所有虛光子的動量積分，它的取值自然也就成為了無窮大。電子與自己場的這種相互作用構成的是電子自能，也就是電子的質量。這個結果表明，在最低級近似下求得的電子質量是無窮大。同時，奧本海默還得出，電子吸收或放出虛光子截面也是無窮大。
作為QED二級微擾近似過程的一個部分，電子之間相互作用過程中，始終都會有真空極化的正負虛電子對産生，但以此為依據進行的計算又表明，電子電量也是無窮大。
QED得到的這種不符合實際無窮大，也稱是它的發散困難。那麼，怎樣消除QED的這種難堪的發散困難呢？後來理論家們發現了一種稱為重整化的運算規則，其具體方法就是在計算中通過重新定義質量、電荷等物理常數，把可以導緻無窮大的結果都吸收掉，從而使計算能夠得到定量的有限取值。對這種方法的物理解釋是：由于電子總是被虛的光子和虛的正負電于對所包裹，所以對它的計算會導緻無窮大，如果把它真實存在稱為裸電子，我們是看不到裸電子的，所以在考慮電子實際的真實存在時，計算中就應當重新定義電子的質量與電荷，從而把那些可能出現的發散項都吸收掉。
特别說明：重整化使QED的理論與實驗測量在很高的精度上保持了一緻，非常有效。
（二）
顯然，重整化首先屬于吸收QED發散項的一種在計算中使的數學技巧，再根據理論家們對這種數學技巧的解釋，很容易有以下認識：
1．容易理解，計算中QED有發散項并沒有邏輯錯誤，它産生的根源，就是由于電磁場φ與電子場ψ是獨立的二元存在，以及φ具有連續無窮維自由度，有真空極化，而“重整化”重新定義電子的有限物理量，其實質也就是否定了φ與場ψ是獨立的二元存在，以及φ具有連續無窮維自由度，有真空極化。這就是說，隻有離開了QED所構想的電磁場的圖景，所做的計算才能與實際保持一緻。重整化吸收QED中的發散項，這也就意味着現代理論物理學中、以QED為模式的量子場圖景是根本錯誤的。
現代理論物理學中，QED産生無窮大的根源，是因為形成電作用的電磁場根本就不是現代量子場論所設想的那樣。即QED實際僅僅隻是給出了定量表述電子參與電磁作用的一種數學方法，并沒有給述電子參與電磁作用的真實物理圖景。
2．正因為QED并沒有給述電子參與電磁作用的真實物理圖景，由此就形成現代量子場理論描述基礎不确定的危機，即現代量子場理論的描述基礎還沒有正确地建立起來。對此最典型的證據，就是我們在當前這個基礎上所進行的計算，總會出現無窮大的發散項，雖然我們能夠找出抛棄無窮大的一些規則，但這些規則并不來自理論本身的邏輯前提，并沒有解決理論為什麼會出現發散項的問題，完全是人為的，而我們相信量子場理論的理由，也僅僅隻是因為它的數學結果能夠與觀測相符合，而這種數學結果的獲取需要使用人為規則；這是顯而易見的人工雕琢。
也正因為現代量子場理論描述基礎的不确定，所以當我們把QED觀念用于了能量非常高、作用距離非常小的粒子時，重整化技巧也就會完全失效，相互作用的方程也就不會有合理的解。後來，雖然通過希格斯機制似乎解除了理論的這種危機，但怎樣準确計算希格斯機制的質量？希格斯機制需要的希格斯粒子是否存在，這些理論本身并不能确定。因此希格斯機制并沒有化解現代量子場理論描述基礎的危機，而隻不過是改變了這種危機的方式。
3．現存的場量子理論中，不僅描述電磁作用的QED，包括描述弱電統一的薩拉姆和格拉肖的模型、描述強作用的量子色動力學，以及包括超弦理論在内，凡涉及到與真空相關聯的計算，就總會有無窮大的發散項， 例如真空自能發散、真空漲落發散、躍遷矩陣元紫外發散等等。所有這些事實皆表明，量子場理論描述真空受激發産生出虛粒子的真空觀、與實際并不相符。因此，要解決現代量子場理論描述基礎的危機，就應當離開量子場理論的虛粒子真空觀，依照真空受激發表現出來的現象事實，去重新認識真空，從而形成全新的描述依據。這是實現量子場理論描述基礎正确，使其完備自洽，不産生無意義的發散項、并能夠适用于任何相互作用，對量子化場理論作出根本改善的關鍵。
