数学术语
等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程。
分式方程概念
分式方程是方程中的一种,且分母里含有未知数的(有理)方程叫做分式方程(fractional equation)。例如100/x=95/x+0.35
补充:该部分知识属于初等数学知识,一般在初二的时候学习。(人教版八年级下册数学第三章的3.7中出现 76-81页)
分式方程的解法
①去分母
方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂),将分式方程化为 整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。
②按解整式方程的步骤
移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,把系数化为1 求出未知数的值;
③验根
求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生 增根.
验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根,则原方程无解。
如果分式本身约分了,也要带进去检验。
在列分式方程解应用题时,不仅要检验所得解的是否满足方程式,还要检验是否符合题意。
一般的,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零,因此要将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为零,则是方程的解.
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注意
(1)注意去分母时,不要漏乘整式项。
(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
(3)増根使最简公分母等于0。
归纳
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法。
例题:
(1)x/(x+1)=2x/(3x+3)+1
两边乘3(x+1)
3x=2x+(3x+3)
3x=5x+3
-2x=3
x=3/-2
经检验,x=-3/2是方程的解
(2)2/(x-1)=4/(x^2-1)
两边乘(x+1)(x-1)
2(x+1)=4
2x+2=4
2x=2
x=1
把x=1代入原方程,分母为0,所以x=1是增根。
所以原方程无解
一定要检验!
例:
2x-3+1/(x-5)=x+2+1/(x-5)
两边同时减1/(x-5),得x=5
代入原方程,使分母为0,所以x=5是增根
所以方程无解!
检验格式:把x=a 带入最简公分母,若x=a使最简公分母为0,则a是原方程的增根.若x=a使最简公分母不为零,则a是原方程的根.
注意:可凭经验判断是否有解。若有解,带入所有分母计算:若无解,带入无解分母即可
分式方程应用题
列分式方程解应用题的一般步骤是:找等量关系-设-列-解-检验-答。
例题
南宁到 昆明西站的路程为828KM,一列普通列车和一列直达 快车都从南宁开往 昆明。直达快车的速度是 普通快车速度的1.5倍,普通快车出发2H后,直达快车出发,结果比普通列车先到4H,求两次的速度.设普通车速度是x千米每小时则直达车是1.5x所以普通车时间是828/x小时,直达车是828/1.5x普通车先出发2小时,晚到4小时,所以相差6小时所以828/x-828/1.5x=6 ,(828*1.5-828)/1.5x=6 ,414/1.5=6x, x=46, 1.5x=69所以普通车速度是46千米每小时,直达车是69千米每小时。
无解的含义:
1.解为增根。
2.整式方程无解。(如:0x不等于0。)