发展简史
希尔伯特零点定理（Hilbert'sNullstellensatz）是古典代数几何的基石，它给出了域上的维仿射空间中的代数集与域上的元多项式环的根理想的一一对应关系。
对于一个函数，若存在实数，使则称为函数的零点，又称为方程的实根．如果函数为闭区间上的连续函数，那么我们就可以利用连续函数的零点定理来判断函数是否存在零点，同时也可以利用微积分的知识来解决零点个数问题。
定理定义
设实数，设是在闭区间上的连续函数，并且满足条件。
则存在点，使得
该定理又被称作零点定理、零值定理、零点存在定理、根的存在定理，等等。
验证推导
不妨设
令
由 知 , 且 为 的一个上界，于是根据确界存在原理，
存在 .
下证 (注意到 , 故此时必有.) .
事实上，
(i)若 , 则. 由函数连续的局部保号性知
存在 , 对 存在 ,
这与 为 的上界矛盾;
(ii)若 , 则 . 仍由函数连续的局部保号性知
存在 , 对 存在 为 的一个上界，且 , 这又与 为的最小上界矛盾。
综合(i)(ii)，即推得 。
我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理 。
另，零点定理是介值定理的特殊情况。
定理意义
零点定理属于介值定理的特殊情况，该定理意味着，在世界各地的任何一个大环境中，对于温度，压力，高程，二氧化碳浓度来说，如果是连续变化的，那么总是会存在两个与该变量相同值的对映点。
