實數集

簡介

通俗地認為，通常包含所有有理數和無理數的集合就是實數集，通常用大寫字母R表示。

18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集并沒有精确的定義。直到1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。定義是由四組公理為基礎的：

加法定理

1.1.對于任意屬于集合R的元素a、b，可以定義它們的加法a+b，且a+b屬于R；

1.2.加法有恒元0，且a+0=0+a=a（從而存在相反數）；

1.3.加法有交換律，a+b=b+a；

1.4.加法有結合律，(a+b)+c=a+(b+c)。

乘法定理

2.1對于任意屬于集合R的元素a、b，可以定義它們的乘法a·b，且a·b屬于R；

2.2乘法有恒元1，且a·1=1·a=a（從而除0外存在倒數）；

2.3乘法有交換律，a·b=b·a；

2.4乘法有結合律，(a·b)·c=a·(b·c)；

2.5乘法對加法有分配律，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

序公理

3.1∀x、y∈R，xy中有且隻有一個成立；

3.2若x

3.3若x0，則x·z

3.4傳遞性：若x

完備公理

(1)任何一個非空有上界的集合（包含于R）必有上确界。

(2)設A、B是兩個包含于R的集合，且對任何x屬于A，y屬于B，都有x

符合以上四組公理的任何一個集合都叫做實數集，實數集的元素稱為實數。