介紹
鍊式法則是求複合函數的導數（偏導數）的法則，若 I，J 是直線上的開區間，函數 f(x) 在 I 上有定義處可微，函數 g(y) 在 J 上有定義 ，在 f(a) 處可微，則複合函數在 a 處可微( 在 I 上有定義)，且.若記 u=g(y),y=f(x)，而 f 在 I 上可微，g 在 J 上可微，則在 I 上任意點 x 有
即 ，或寫出
這個結論可推廣到任意有限個函數複合到情形，于是複合函數的導數将是構成複合這有限個函數在相應點的 導數的乘積，就像鎖鍊一樣一環套一環，故稱鍊式法則。
基本性質
若多元函數 u=g(y1,y2,...,ym) 在點 ?=(b1,b2,...,bm) 處可微，bi=fi(a1,a2,...,an)(i=1,2,...,m)，每個函數 fi(x1,x2,...,xn) 在點 (a1,a2,...,an) 處都可微，則函數 u=g(f1(x1,x2,...,xn)，f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn)) 也在(a1,a2,...,an) 處可微，且
這就是多元函數的鍊式法則，若同時考察一組（p 個）複合函數 u1,u2,...,up，其中 uk=gk(fi(x1,x2,...,xn),f2(x1,x2,...,xn),...,fm(x1,x2,...,xn))(k=1,2,...,p)，将它們的偏導數寫成矩陣（雅可比矩陣)，則可以看到鍊式法則在形式上更有規律性，這時
若對于上面考察的這些函數，令 ，，于是，? 是 p 維向量值函數（定義與 的子集上），? 是 m 維向量值函數（定義于 的子集上），按照定義，它們的導數是相應的雅可比矩陣，
（等式右端為兩矩陣?‘ (? (?)) 與?‘ (?) 的矩陣乘積），其中.這就是向量值函數的鍊式法則，它在形式上與一元函數的鍊式法則完全相同。
例題
求導
鍊式求導：令
則 即可求得。
