基本概念
細胞的分裂是一個很有趣的現象，新細胞産生的速度之快是十分驚人的。例如，某種細胞在分裂時，1個分裂成2個，2個分裂成4個……因此，理想條件下第x次分裂得到新細胞數y與分裂次數x的函數關系式即為：。
這個函數便是指函數的形式，且自變量為幂指數，我們下面來研究這樣的函數。
一般地，函數(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函數，函數的定義域是R。對于一切指數函數來講，值域為(0，+∞)。指數函數中前面的系數為1。如：都是指數函數；注意：指數函數前系數為3，故不是指數函數。
數學解讀
指數函數是數學中重要的函數。應用到值e上的這個函數寫為exp(x)。還可以等價的寫為ex，這裡的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等于2.718281828，還稱為歐拉數。
當a>1時，指數函數對于x的負數值非常平坦，對于x的正數值迅速攀升，在x等于0的時候，y等于1。當0
作為實數變量x的函數，的圖像總是正的(在x軸之上)并遞增(從左向右看)。它永不觸及x軸，盡管它可以無限程度地靠近x軸(所以，x軸是這個圖像的水平漸近線。它的反函數是自然對數ln(x)，它定義在所有正數x上。
有時，尤其是在科學中，術語指數函數更一般性的用于形如（k屬于R）的函數，這裡的a叫做“底數”，是不等于1的任何正實數。本文最初集中于帶有底數為歐拉數e的指數函數。
指數函數的一般形式為(a>0且≠1)(x∈R)，從上面我們關于幂函數的讨論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則隻有使得a>0且a≠1。
基本性質
在函數中可以看到：
（1）指數函數的定義域為R，這裡的前提是a大于0且不等于1。對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等于0函數無意義一般也不考慮。
（2）指數函數的值域為(0，+∞)。
（3）函數圖形都是上凹的。
（4）a>1時，則指數函數單調遞增；若0單調遞減的。
（5）可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（不等于0）函數的曲線從分别接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分别接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
（6）函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸，并且永不相交。
（7）函數總是通過（0，1）這點，(若，則函數定過點(0，1+b))
（8）指數函數無界。
（9）指數函數是非奇非偶函數
（10）指數函數具有反函數，其反函數是對數函數。
運算法則
①
②
③
④
函數圖像
(1)由指數函數y=a^x與直線x=1相交于點（1，a)可知：在y軸右側，圖像從下到上相應的底數由小變大。
(2)由指數函數y=a^x與直線x=-1相交于點（-1，1/a）可知：在y軸左側，圖像從下到上相應的底數由大變小。
(3)指數函數的底數與圖像間的關系可概括的記憶為：在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。（如右圖）。
(4)與的圖像關于y軸對稱。
幂的比較
常用方法
比較大小常用方法：
（1）做差（商）法：A-B大于0即A大于BA-B等于0即A=BA-B小于0即A小于B步驟：做差—變形—定号—下結論；AB大于1即A大于BAB等于1即A等于BA/B小于1即A小于B（A，B大于0）。
（2）函數單調性法；
（3）中間值法：要比較A與B的大小，先找一個中間值C，再比較A與C、B與C的大小，由不等式的傳遞性得到A與B之間的大小。
注意事項
比較兩個幂的大小時，除了上述一般方法之外，還應注意：
（1）對于底數相同，指數不同的兩個幂的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷。
例如：y1=34，y2=35因為3大于1所以函數單調遞增（即x的值越大，對應的y值越大），因為5大于4，所以y2大于y1。
（2）對于底數不同，指數相同的兩個幂的大小比較，可以利用指數函數圖像的變化規律來判斷。
例如：，，因為1/2小于1所以函數圖像在定義域上單調遞減；3大于1，所以函數圖像在定義域上單調遞增，在x=0是兩個函數圖像都過（0，1）然後随着x的增大，y1圖像下降，而y2上升，在x等于4時，y2大于y1。
（3）對于底數不同，且指數也不同的幂的大小比較，則可以利用中間值來比較。如：
<1>對于三個（或三個以上）的數的大小比較，則應該先根據值的大小（特别是與0、1的大小）進行分組，再比較各組數的大小即可。
<2>在比較兩個幂的大小時，如果能充分利用“1”來搭“橋”（即比較它們與“1”的大小），就可以快速的得到答案。那麼如何判斷一個幂與“1”大小呢？由指數函數的圖像和性質可知“同大異小”。即當底數a和1與指數x與0之間的不等号同向（例如：a〉1且x〉0，或0〈a〈1且x〈0）時，大于1，異向時小于1。
