淵源流變
演變及地位
河圖、洛書是漢族文化、陰陽五行術數之源，漢代儒士認為，河圖就是八卦，而洛書就是《尚書》中的《洪範九疇》。河圖、洛書最早記錄在《尚書》之中，其次在《易傳》之中，諸子百家多有記述。太極、八卦、周易、六甲、九星、風水等等皆可追源至此。
《春秋緯》雲:"河以通乾出天苞,洛以流坤吐地符,河龍圖發,洛龜書成。河圖有九篇,洛書有六篇"。人文始祖伏羲在卦台山的渭河得到河圖後,依照龍馬背上的負圖,創畫出了先天八卦。接着,伏羲氏族遷徙到黃河流域時,又有神龜負書從洛水出現,創畫了後天八卦。這就是《周易·系辭上》記載的,"河出圖,洛出書,聖人則之",即人文始祖伏羲"作八卦,以通神明之德,以類萬物之情"。
源流覓迹
“河圖”、“洛書”覓迹
“河圖”、“洛書”最初的形狀是什麼樣子？随着世紀的流轉，今天人們已經難以尋覓其真相了，但從一些史籍殘留記載看，它的慧根是很古遠的。在人類初始時期，聖人依據自然物象的一些特征，模仿刻在龜背和獸骨上，以作為經驗對人們的生存起到一種警示作用。因為它是經驗所積聚，所以往往比較靈驗，一定程度上能使人們逢兇化吉，後來逐漸被人們視為神靈祥瑞之物。
我們從已出土的商代大量的甲骨文多刻在龜背和獸骨之上，内容又多為占蔔之辭可以得到印證。中國遠祖先民對龜和龍都很崇拜，在流傳下來的遠古神話和先秦典籍中，多見記載。如《莊子·逍遙遊》就寫到：“楚之南有冥靈者，以五百歲為春，五百歲為秋。”這裡的“冥靈”多數學者都認為是指神龜。在《莊子》一書中不止一次提到神龜，而且也多和長壽、吉祥有關。神龜和龍馬以及蛇、鹿、熊、罴、貔、貅、貙、虎，還有一些飛鳥，如燕子等，可能都是早期不同部落先民的圖騰崇拜，是不同部落民族的徽标。
“河圖洛書”圖式反映出中國人對數字的崇拜和時空觀念
數字是人類最初從動物界分離出來而成為人的重要标志之一。數字的出現使人類意識到自己的智慧和聰明，并為進一步開發智慧奠定了基礎。古希臘畢達哥拉斯學派的思想家菲洛勞斯曾說過一段著名的話：“龐大、萬能和完美無缺是數字的力量所在，它是人類生活的開始和主宰者，是一切事物的參與者。沒有數字，一切都是混亂和黑暗的。”因此，遠古時期的人類一開始就非常崇拜數字，這是世界上各個民族在文化啟蒙之初的共同特征。
中國古代先民的數字崇拜，主要表現在對一至十這十個基本數字的崇拜，以及對十以後的由基本數字生發出來的一些數字的崇拜。十以後的某些數字如由二、二、三相乘産生的十二，由二、三、四相乘産生的二十四，四七産生的二十八，六六産生的三十六，七七産生的四十九，八八産生的六十四，九九産生的八十一，由十産生的百、千、萬等。
在古代中國人的文化觀念中，一至十這十個基本數字都不單是數學意義的數字，它們還具有美學意義、祥瑞意義、世界觀及宇宙觀意義等，每個基本數字都是完美數、吉利數、理想數、大智慧數，細說起來都含義無窮。
“河圖”、“洛書”與八卦之起源
《易經·系辭下》有較為詳細地記載：“古者包犧氏之王天下也，仰則觀象于天．俯則觀法于地．觀鳥獸之文，與地之宜，近取諸身，遠取諸物，于是始作八卦．以通神明之德，以類萬物之情。作結繩而為網罟，以佃以漁，蓋取諸離。” 在那個天地洪荒的時期，伏羲常常站在黃河邊的坡地上，凝神觀看黃河和洛水交彙處形成的激流漩渦，河出圖，洛出書，天上的彩霞，地上的黃土，都能引發他的思考，天為什麼是藍的，地又為什麼是黃的，天、地和人、花草、蟲魚又是什麼關系？經過長時間的思索，他用12條長線和24條短線進行排列組合，構成8種圖形，這些用長短不同的線條構成的圖案，就是八卦。
伏羲氏又結繩制作網羅，用于捕魚和狩獵。這大概是從《離》善于附着像中得到了啟示。漢代學者劉歆在《漢書·五行志》中亦稱：“伏羲氏繼天而王，受河圖，則而圖之，八卦是也。” 漢代學者多宗從劉歆之說，認為伏羲創立八卦是受了河圖洛書的啟發。如孔穎達著《周易正義》稱“伏羲得《河圖》，複須仰觀俯察，以相參正，然後畫卦。”
内容簡介
河圖洛書所表達的是一種數學思想。隻要細加分析便知，數字性和對稱性是“圖書”最直接、最基本的特點，“和”或“差”的數理關系則是它的基本内涵。完全可以用數學方法證明或推導出河圖、洛書，并證明河圖與洛書同出一源。還可以發現，河圖、洛書與算盤”和“萬字符”存在着一定程度的聯系。
河圖、洛書是以黑點或白點為基本要素，以一定方式構成若幹不同組合，并整體上排列成矩陣的兩幅圖式，如圖所示。
河圖、洛書最有名的出處來自于《易傳·系辭》中的“河出圖，洛出書，聖人則之”這句話，并據此認為八卦就是根據這二幅圖推演而來的，從而成為易學研究的重要課題之一。由于曆代皆認為它們是“龍馬負之于身，神龜列之于背”，所以多少世紀以來，它一直披着神秘的外衣，公認為是漢族文化之源的千古之謎。
當審視、梳理河圖、洛書的曆史蹤迹之後，我們會發現這樣一些共識：
——河圖、洛書在先秦、西漢的典籍中有其文字記載。《尚書·顧命》說“大玉，夷玉，天球，河圖在東序”；《論語·子罕》稱“子曰：鳳鳥不至，河不出圖，吾已矣夫！”；《管子·小臣》講：“昔人之受命者，龍龜假，河出圖，洛出書，地出乘黃，今三祥未見有者。”以後，在漢代劉歆、孔安國、揚雄、班固等人的著作中也屢有提及。
至于河圖、洛書到底是個什麼樣子，各書上都沒有明言。
——河圖、洛書在宋代初年才被發現。它們始傳于宋代華山道士陳抟，他提出的圖式叫作《龍圖易》，《宋文鑒》中載有《龍圖序》一文，講到了龍圖三變的說法，即一變為天地未合之數，二變為天地已合之數，三變為龍馬負圖之形，最後形成了河圖、洛書二個圖式。但是，陳抟在龍圖三變之後，沒有提到河圖、洛書的名稱。第一次給這兩幅圖命名的是北宋易學家劉牧，他精研陳抟所傳《龍圖易》，著書《易數鈎隐圖》，于是，河圖洛書才為世人所知。當時，對采用“圖十書九”，還是“圖九書十”有過争論，最終定位于圖十書九，一直延續至今。宋代的象數學家相信八卦就是由河圖、洛書這二幅圖式推演而來，從而，易學史上形成了用河圖、洛書解釋八卦起源的圖書派。
——洛書與漢初著作《大戴禮記》中記載的明堂九室，西漢未年著作《乾鑿度》中的九宮說，在9個數的方位配置上完全一緻。明堂大約在原始社會末期出現，是中國古代社會生活中具有禮義兼祭祀作用的建築物，深受曆代統治者的重視。
總之，從現存的有關史料來看，河圖、洛書的來源古老悠久，撲朔迷離，沒有一個明确可靠的答案。
基本内容
河圖上排列成數陣的黑點和白點，蘊藏着無窮的奧秘；洛書上，縱、橫、斜三條線上的三個數字，其和皆等于15，十分奇妙。對此，中外學者作了長期的探索研究，認為這是中國先民心靈思維的結晶，是中國古代文明的第一個裡程碑。《周易》和《洪範》兩書，在漢文化發展史上有着重要的地位，在哲學、政治學、軍事學、倫理學、美學、文學諸領域産生了深遠影響。作為中國曆史文化淵源的河圖、洛書，功不可沒。
河圖之理
左旋之理
坐北朝南，左東右西，水生木、木生火、火生土、土生金、金生水，為五行左旋相生。中心不動，一、三、五、七、九、為陽數左旋；二、四、六、八、十、為陰數左旋；皆為順時針旋轉，為五行萬物相生之運行。我們知道，銀河系等各星系俯視皆右旋，仰視皆左旋。所以，"生氣上轉，如羊角而升也"。故順天而行是左旋，逆天而行是右旋。所以順生逆死，左旋主生也。
象形之理
河圖本是星圖，其用為地理，故在天為象，在地成形也。在天為象乃三垣二十八宿，在地成形則青龍、白虎、朱雀、玄武、明堂。天之象為風為氣，地之形為龍為水，故為風水。乃天星之運，地形之氣也。所以四象四形乃納天地五行之氣也。
五行之理
河圖定五行先天之位，東木西金，南火北水，中間土。五行左旋而生，中土自旋。故河圖五行相生，乃萬物相生之理也。土為德為中，故五行運動先天有好生之德也。
陰陽之理
土為中為陰，四象在外為陽，此内外陰陽之理；木火相生為陽，金水相生為陰，乃陰陽水火既濟之理；五行中各有陰陽相交，生生不息，乃陰陽互根同源之理；中土為靜，外四象為動，乃陰陽動靜之理。若将河圖方形化為圓形，木火為陽，金水為陰，陰土陽土各為黑白魚眼，就是太極圖了。此時水為太陰，火為太陽，木為少陽，金為少陰，乃太極四象也。故河圖乃陰陽之用，易象之源也。易蔔乃陰陽三才之顯也。
先天之理
什麼叫先天？人以天為天，天以人為天，人被天制之時，人是天之屬，人同一于天，無所謂人，此時之天為先天；人能識天之時，且能逆天而行，人就是天，乃天之天，故為後天。先天之理，五行萬物相生相制，以生發為主。後天之理，五行萬物相克相制，以滅亡為主。河圖之理，土在中間生合萬物，左旋動而相生，由于土在中間，相對克受阻，故先天之理，左行螺旋而生也。又，河圖之理為方為靜，故河圖主靜也。
後世理解
西漢劉歆以河圖為八卦，以《尚書·洪範》為洛書。漢代緯書有《河圖》九篇，《洛書》六篇。以九六附會河洛之數。宋初陳抟創“龍圖易”。吸收漢唐九宮說與五行生成數，提出一個圖式，名龍圖，即河圖。西蜀隐者則以陳抟之先天太極圖為河圖。劉牧将陳抟龍圖發展為河圖、洛書兩種圖式，将九宮圖稱為河圖，五行生成圖稱為洛書。南宋朱震于《周易挂圖》中載其圖。南宋蔡元定認為劉牧将河圖與洛書颠倒了，将九宮圖稱為洛書，五行生成圖稱為河圖。
朱熹《周易本義》卷首載其圖。後世所稱一般以蔡說為準。南宋薛季宣以九數河圖、十數洛書為周王朝的地圖、地理志圖籍。清黃宗羲《易學象數論》、胡渭《易圖明辨》亦認為河圖洛書為四方所上圖經一類。今人高亨認為河圖洛書可能是古代地理書，另有人認為河圖為上古氣候圖，洛書為上古方位圖，或以為河圖為天河之圖。衆說不一，尚在繼續探求中。
河圖與洛書
真僞圖書
亦稱“河洛之争”。宋以來圍繞河圖洛書真僞、八卦是否據河洛而畫等問題的論争。《周易·系辭下》提出“河出圖，洛出書，聖人則之”之說，先秦兩漢至唐代文獻基本持此觀點。然河洛圖式早已失傳，至少唐末已不可見。宋初陳抟以河圖、洛書及先天圖、太極圖傳世，于是引起肯定派（圖書派）與否定派（疑古派）的論争。
圖書派内部針對何謂河圖、何謂洛書，有“圖九書十”與“圖十書九”的分歧，前者以劉牧為代表，王湜、朱震、鄭樵、朱元升、李簡、薛季宣、張理襲其說。後者以朱熹、蔡元定為代表。前者在宋元影響很大，後者則為後世通行說法。兩者均堅信河出圖、洛出書，聖人則之而畫卦。疑古派則視河、洛為怪妄，并大肆攻擊。其先驅為北宋歐陽修，其《易童子問》否定伏羲授河圖畫八卦，認為河圖不在《易》之前。
元錢義方《周易圖說》認為圖、書之書，是因《周易》而造易數，絕不是因圖、書而出《周易》。
元陳應潤《周易爻變義蘊》指出，先天之圖為道家假借《易》理以為修煉之術，不是《周易》本旨。
清黃宗羲《易學象數論》、黃宗炎《圖書辨惑》亦認為圖書之說，實由道家而來，與作《易》無關。
胡渭《易圖明辨》認為洛書來源于《乾鑿度》鄭玄注及其九宮圖，而河圖亦為發揮《周易·系辭》“天地之數五十有五”而出。
另明劉濂《易象解》、清毛奇齡《河圖洛書原篇》、張惠言《易圖條辨》等均以為《易》未遭秦火，圖書亦不當失，其中或認為河洛為道家煉丹養生之圖，或認為隻是畫卦中一事，并非則之而畫卦。衆難紛然。
與此同時，肯定派則極力崇尚河洛，不僅反駁疑古派言論，而且在河洛研究、破釋方面取得不少成果。宋圖書派堅持自己立場，并為此宏揚。另王安石、蘇轼亦不贊成歐陽修觀點。元胡一桂、吳澄等力駁疑古之論，并作有益分析。清代解析河洛著作甚多。
李光地《周易折中》、胡煦《周易函書》、江永《河洛精蘊》均為上乘之作。民國至解放後，兩派鬥争依然持續不斷。杭辛齋、黃元炳闡述河洛之意，多前人所未發。近代疑古派則顧颉剛為代表，其《三皇考·河圖洛書的倒墜》徹底否定河洛。
一九七七年春，在安徽阜陽縣雙古堆發掘的西漢汝陰侯墓出土文物中，發現“太乙九宮占盤”，其圖式與洛書完全相符，說明宋人圖書，絕非臆造。一般認為洛書至遲于西漢初年已經存在，然對河圖的來源及圖書與《周易》誰先誰後等問題仍有争議。
具體解析
直觀地考察河圖洛書，不難發現，這兩幅圖具有數字性和結構對稱性這兩個明顯特點：
第一，數字性。數的概念直接而又形象地包含在圖書之中。“○”表示1；“●●”表示2；……依次類推，河圖含有1~10共10個自然數，洛書含有1~9共9個自然數。其中，由黑點構成的數為偶數，由白點構成的數為奇數，表達了數的奇偶觀念。因此，數字性是河圖洛書的基本内容之一。
第二，對稱性。兩幅圖式的結構分布形态對稱，具體表現在二個層面：其一，由黑點或白點構成的每一個數的結構形态是對稱的；其二，整體結構分布對稱。河圖，以二個數字為一組，分成五組，以5，10居中，其餘四組7，2、9，4、6，1、8，3依次均勻分布在四周。洛書，以數5居中，其餘8個數均勻分布在八個方位。
進一步分析，河圖洛書還包含着豐富的數理關系，下面分别論述。
隐含内容
河圖包括的數理關系
1、等和關系。除中間一組數（5，10）之外，縱向或橫向的四個數字，其偶數之和等于奇數之和。
縱向數字：7、2；1、6 7+1=2+6
橫向數字：8、3；4、9 8+4=3+9
并得出推論：河圖中，除中間一組數5，10之外，奇數之和等于偶數之和，其和為20。
2、等差關系。四側或居中的兩數之差相等。上（7—2）；下（6—1）；左（8—3）；右（9—4）；中（10—5），其差均為5。
洛書包含的數理關系
1、等和關系。非常明顯地表現為各個縱向、橫向和對角線上的三數之和相等，其和為15。
2、等差關系。細加辨别，洛書隐含着等差數理邏輯關系。
①洛書四邊的三個數中，均有相鄰兩數之差為5，且各個數字均不重複。
上邊4、9、2 9-4=5
下邊8、1、6 6-1=5
左邊4、3、8 8-3=5
右邊2、7、6 7-2=5
顯然這個特點與河圖一樣，反映出洛書與河圖有着一定的内在聯系。
②通過中數5的縱向、橫向或對角線上的三個數，數5與其它兩數之差的絕對值相等。
縱向|5-9|=|5-1|或9-5=5-1
橫向|5-3|=|5-7|或5-3=7-5
右對角線|5-2|=|5-8|或5-2=8-5
左對角線|5-4|=|5-6|或5-4=6-5
洛書隐含萬字符。
洛書稍為變化，就可推進萬字符：
④ ⑨ ②
③ ⑤ ⑦
⑧ ① ⑥
在萬字符結構狀态下，洛書隐含的，即不易一眼看出的數理關系，十分清楚地被反映出來，如兩數之差為5的四組數；萬字符的兩個曲臂上，各數之和相等，均為25，等等。換句話說，萬字符是對洛書的一種獨特的數學解析，并且它反映出洛書與河圖在數理方面的内在聯系，隻要把曲臂外側拉直，洛書的結構形态就與河圖一緻。當有了洛書和萬字符，把河圖省去也可以，因為河圖中的數理關系也基本得到了反映。鑒于以上分析，與其說萬字符象征着光芒四射的太陽光線，還不如說萬字符是洛書的轉化形态，一方面，我們無論如何也不能從光線中看出萬字符;另一方面，古人因崇拜洛書而敬仰萬字符也是說得通的。
河圖洛書包含算盤的數學原理
首先從數學原理看，河圖洛書的數理特點與算盤的主要規則相吻合：其一，河圖四側的兩數之差均為5，即一個大于5的基本自然數可表示為數5加上一個小于5的自然數，這與算盤珠碼中把5顆下珠升作一顆上珠的五升制規則相對應；其二，洛書的縱、橫和對角線方向上的三數之和均為15，這與算盤中每檔7珠的示值相一緻。
其次從曆史發現看，盡管“操珠運算”的思想曆史悠久，但最早記錄的成熟算盤是宋初（公元960—1127年）反映人民生活的宏大畫卷“清明上河圖”，這幅圖的左端有一架十五格（檔）七個黑點（珠）的大算盤。而河圖洛書盡管在先秦時期早有傳說，但直到宋初才被世人所知。河圖洛書的發現與算盤的産生的曆史時間有着驚人的巧合。綜上緣由，可以作一猜想，算盤的實物形态起源于珠，算盤的數學原理來自于河圖洛書。
河圖的象和數
河圖之象
河圖用十個黑白圓點表示陰陽、五行、四象，其圖為四方形。如下：
北方：一個白點在内，六個黑點在外，表示玄武星象，五行為水。
東方：三個白點在内，八個黑點在外，表示青龍星象，五行為木。
南方：二個黑點在内，七個白點在外，表示朱雀星象，五行為火。
西方：四個黑點在内，九個白點在外，表示白虎星象，五行為金。
中央：五個白點在内，十個黑點在外，表示時空奇點，五行為土。
（其中，單數為白點為陽，雙數為黑點為陰。四象之中，每象各統領七個星宿，共28宿。）以上為《河圖》。其中四象，按古人坐北朝南的方位為正位就是：前朱雀，後玄武，左青龍，右白虎。此乃風水象形之源也。
河圖之數
1，天地之數：河圖共有10個數，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。其中1，3，5，7，9，為陽，2、4、6、8、10，為陰。陽數相加為25，陰數相加得30，陰陽相加共為55數。所以古人說："天地之數五十有五"，即天地之數為55，"以成變化而行鬼神也"。即萬物之數皆由天地之數化生而已。
2，萬物生存之數：天一生水，地六成之；地二生火天七成之；天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成之。所以一為水之生數，二為火之生數，三為木之生數，四為金之生數，五為土之生數。六為水之成數，七為火之成數，八為木之成數，九為金之成數，十為土之成數。萬物有生數，當生之時方能生；萬物有成數，能成之時方能成。所以，萬物生存皆有其數也。
3，五行之數：五行之數即五行之生數，就是水一、火二、木三、金四、土五，也叫小衍之數。一、三、五、為陽數，其和為九，故九為陽極之數。二、四為陰數，其和為六，故六為陰之極數。陰陽之數合而為15數，故化為洛書則縱橫皆15數，乃陰陽五行之數也。
4，大衍之數：大衍之數50即五行乘土之成數10；同時也是天地之數的用數。天地之數55，減去小衍之數5得大衍之數50，其中小衍為天地之體數，大衍為天地之用數。所謂"大衍之數50其用49"，就是用大衍之數預測的占筮之法：以一為體，四十九為用，故其用四十又九。
5，天幹交合之數：河圖之數十，乃十天幹之數也。交合之數為：一、六共宗，二、七同道，三、八為朋，四、九為友，五、十同德。正是萬物生存之數。所以甲己合為一、六共宗，乙庚合為二、七同道，丙辛合為三、八為朋，丁壬合為四、九為友，戊癸合為五、十同德。十天幹經交合之後，化為天幹交合之五行，将河圖五行之體化為天幹五行之用。
6，六甲納音之數：天地之數55加上五行之數5，合化為60甲子五行納音之數。十天幹之陰陽五行與萬物相交，同氣相求，同聲相應各發出12種聲音，無聲無音不計，按河圖北、東、南、西、中成象五位五行共60納音。乃天地五行聲音之數也。
7,河圖洛書和二十八星宿，黃道十二宮對照圖
