原理
一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M。
则:[A*M+B*(S-M)]/S=C
M/S=(C-B)/(A-B)
1-M/S=(A-C)/(A-B)
因此:M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)
上面的计算过程可以抽象为:
A C-B
C
B A-C
总均值放中央,对角线上的大数减小数,结果放在对角线上
这就是所谓的十字分解法。X增加,平均数C向A偏,A-C(每个A给B的值)变小,C-B(每个B获得的值)变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值。
意义
十字相乘法的方法
简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项,右边相乘等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)的整式来说,方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b,那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。基本式子:x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。
通俗方法
例:
a²x²+ax-42
首先,我们看看第一个数,是a²,代表是两个a相乘得到的,则推断出(a ×+?)×(a ×+?),
然后我们再看第二项,+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所以推断出是两项式×两项式。
再看最后一项是-42 ,-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。
首先,21和2无论正负,通过任意加减后都不可能是1,只可能是-19或者19,所以排除后者。
然后,再确定是-7×6还是7×-6。
(a×-7)×(a×+6)=a²x²-ax-42(计算过程省略)。
得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a。
再算:
(a×+7)×(a×+(-6))=a²x²+ax-42
正确,所以a²x²+ax-42就被分解成为(ax+7)×(ax-6),这就是通俗的十字相乘法分解因式。
例题解析
例1
把2x²-7x+3分解因式。
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。
分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!)。
2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠-7
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠-7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7。
解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地,对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2 + a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法。
例2
把5x²+6xy-8y²分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y²看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式。
例3
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式十字相乘法,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解。
问:以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了。
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)²-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:将元x、y换成(x+y),以(x+y)为元,这就是“换元法”。
教学重点
重点:正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。
教学难点
难点:灵活运用十字相乘法分解因式。
注意事项
第一点:用来解决两者之间的比例问题。
第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。
第三点:总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上。
判定
对于形如ax²+bx+c的多项式,在判定它能否使用十字相乘法分解因式时,可以使用Δ=b²-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时,可以在整数范围该对多项式进行十字相乘。
具体应用
双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字相乘法”(主元法),就能很容易将此类型的多项式分解因式。
例:3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)
因为3=1×3,-2=2×(-1),-4=(-1)×4,
而1×(-1)+3×2=5,2×4+(-1)(-1)=9,1×4+3×(-1)=1
要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,
例:ab+b²+a-b-2
=0×1×a²+ab+b²+a-b-2
=(0×a+b+1)(a+b-2)
=(b+1)(a+b-2)
提示:设x²=y,用拆项法把cx²拆成mx²与ny之和。
例:2x^4+13x^3+20x²+11x+2
=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
=(2y+3x+1)(y+5x+2)
=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)
=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)
分解二次三项式时,我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式。
例如,分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3.我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为
2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3),
可以看作是关于x的二次三项式.
对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为
即
-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1).
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以
原式=〔x+(2y-3)〕〔2x+(-11y+1)〕
=(x+2y-3)(2x-11y+1).
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2;
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;
(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3.
这就是所谓的双十字相乘法.也是俗称的“主元法”
用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:
⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²,得到一个十字相乘图(有两列);
⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.
我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),…等记号表示,如
f(x)=x²-3x+2,g(x)=x^5+x²+6,…,
当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)
f⑴=12-3×1+2=0;
f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12.
若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根.
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)至少有一个因式x-a.
根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
怎样进行分解因式
例 7x + (-8x) =-x
解:原式=(x+7)(x-8)
例2
-2x+(-8x)=-10x
解:原式=(x-2)(x-8)
例3、
分析:该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字相乘法进行因式分解。
因为
9y + 10y=19y
解:原式=(2y+3)(3y+5)
例4、 因式分解。
分析:因为
21x + (-18x)=3x
解:原式=(2x+3)(7x-9)
例5、 因式分解。
分析:该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解。
因为
-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)
解:原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]
=(2x-1)(5x+8)
例6、 因式分解。
分析:该题可以先将()看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘。
因为
-2+[-12]=-14 a + (-2a)=-a 3a +(-4a)=-a
解:原式=[-2][ -12]
=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)