公式推导
柯西积分公式本身就是柯西积分定理最直接、最重要的推论。利用我们所熟知的柯西积分定理，
其证明过程是很简洁的。在此不再赘述。
推论应用
柯西积分公式是一把钥匙，他开启了许多方法与定理，以下就是重要的几个例子：
平均值定理
如果函数f（z）在圆│ξ-Zo│
一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示，这一点和实变函数完全不同。一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这区间上是否连续也不一定，更不要说它有高阶导数存在了，而利用柯西积分公式可以做数学归纳法证明如下定理：解析函数f(z)的导数仍为解析函数,，它的n阶导数为:(见右图) n！/ 2πi （ ∮c f（z）/（z-Zo）^(1+n) dz）由定理可知，由函数在区域D内的解析性，不仅推出其导数的连续性，而且也推出其各阶导数在D内存在且连续。这是解析函数与一元实变量可微函数本质区别。这便是解析函数所具有的极好的性质,也使得人们对它的研究更具意义,让解析函数论能够单独脱离于实函数而充满活力!
柯西不等式
其公式如右图所示,它给出了一个很有用的估计导数的方法。
Liouville定理：
有界整函数必为常数.利用柳维尔定理可以行反证法简洁证明代数学基本定理:一元n次方程在复数域内必有解。
Morera定理：
即柯西积分定理的逆定理:(柯西积分定理:设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D‘上连续，那么有:f(z)对曲线的闭合积分值为零。)如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有∮c f(z) dz =0那么f(z)在区域D内解析。他刻画了解析函数的又一种定义。
公式推广
设C为任意简单逐段光滑曲线,f(ξ)是在C上有定义的可积函数,则具有如下形式的积分称为柯西型积分:
1 / 2πi （ ∮c f（ξ）/ξ-z dξ） z不属于C，对于复变函数的研究颇具意义。
