定义
对于连续性，在自然界中有许多现象，如气温的变化，植物的生长等都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性。
设函数在点的某个邻域内有定义，如果有，则称函数在点处连续，且称 为函数的的连续点。
设函数在区间(a, b]内有定义，如果在 的左极限存在且等于，即，那么就称函数在点 b左连续。
设函数在区间(a, b]内有定义，如果 在处右极限存在且等于，即：，那么就称函数在点 a右连续。
一个函数在开区间内每点连续，则为在连续，若又在a 点右连续，b 点左连续，则在闭区间 连续，如果在整个定义域内连续，则称为连续函数。
显然，由极限的性质可知，一个函数在某点连续的充要条件是它在该点左右都连续。
等价定义
设变量x从它的一个初值x1变到终值x2，我们把叫做x在x1处的增量（或变化量）。注意增量可正可负。
同样地，当自变量从x1变化到x2时，相应的函数值也发生变化。我们把叫做函数值的增量（或变化量）。
再来分析连续的定义。若令，则等价于，于是等价于。
而根据极限的定义，，当时，有
因此，得到函数连续的另一个定义：
这就是说，如果自变量在某一点处的增量趋于0时，对应函数值的增量也趋于0，就把f(x)称作是在该点处连续的。
注意：在函数极限的定义中曾经强调过，当x→x0时f(x)有没有极限，与f(x)在点x0处是否有定义并无关系。但由于函数在x0处连续，则表示f(x0)必定存在，显然当Δx=0（即x=x0）时Δy=0<ε。于是上述推导过程中可以取消0<|Δx|这个条件。
间断点
如果函数在点 处不连续，则称在点处间断，并把称为的间断点。
间断有以下三种情况：
1.在点处 没有定义，在为发散状态（如图，y=tanx在x=kπ+π/2处无定义，并且在x=kπ+π/2处发散到无穷大）；
2.在无定义，趋近与时连续波动（如图，y=sin(1/x)在x=0处无定义，并且在0的某个去心邻域内无限振荡）；
3.虽然有定义，且存在，但不等于 （如图，分段函数在x=0处的左右极限都存在，但不等于f(0)）。
法则
定理一在某点连续的有限个函数经有限次和、差、积、商（分母不为0） 运算，结果仍是一个在该点连续的函数。
定理二连续单调递增 （递减）函数的反函数，也连续单调递增 （递减）。
定理三连续函数的复合函数是连续的。
这些性质都可以从连续的定义以及极限的相关性质中得出。
连续函数
闭区间上的连续函数具有一些重要的性质，是数学分析的基础，也是实数理论在函数中的直接体现。下面的性质都基于f(x)是[a,b]上的连续函数得出的结论。
有界性
闭区间上的连续函数在该区间上一定有界。
所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。
证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。
反证法，假设f(x)在[a,b]上无上界，则对任意正数M，都存在一个x'∈[a,b]，使f(x')>M。
特别地，对于任意正整数n，都存在一个xn∈[a,b]，使f(xn)>n。
依次取n=1、2、3、……，得到一个数列{xn}⊂[a,b]。显然，{xn}是有界的，则根据致密性定理，存在一个收敛子列。记 ，由及数列极限的保不等式性可知，a≤x0≤b（即x0∈[a,b]）。
又由归结原则和函数在点x0的连续性可知，
另一方面，由{xn}的选取方法可知，，于是当k→∞时，，矛盾！
所以假设不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。
同理可证f(x)在[a,b]上必有下界，从而f(x)在[a,b]上有界[1] 。
最值性
闭区间上的连续函数在该区间上一定能取得最大值和最小值。
所谓最大值是指，[a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。
证明：利用确界原理：非空有上（下）界的点集必有上（下）确界。
由于已经证明了f(x)在[a,b]上有界，因此由确界原理可知，f(x)的值域f([a,b])必有上确界和下确界。
设f([a,b])的上确界为M，则必存在ξ∈[a,b]使f(ξ)=M
若不是这样，根据上界的定义，对任意x∈[a,b]，都有f(x)
令，由连续函数的四则运算法则可知g(x)在[a,b]上是连续函数，故g(x)在[a,b]上有上界，设为G。则 。
整理该式子得，这与M是f([a,b])的上确界相矛盾，因此存在ξ∈[a,b]，使f(ξ)=M。由上确界的定义可知，M是f(x)的最大值。
同理可证f(x)有最小值。
介值性
若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。则对A、B之间的任意实数C，在开区间(a,b)上至少有一点c，使f(c)=C。
这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：
（1）零点定理。
也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间(a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ)=0。
（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。
也就是设f(x)在[a,b]上的最大值、最小值分别为M、m（M≠m），并且f(x1)=M，f(x2)=m，x1、x2∈[a,b]。在闭区间[x1,x2]或[x2,x1]上使用介值定理即可。
证明：零点定理可以利用闭区间套定理：如果{[an,bn]}是一个闭区间套，那么存在唯一实数ξ属于所有的闭区间。详细证法参考相应词条。
介值定理可以构造辅助函数来证明。
令g(x)=f(x)-C，其中C是A和B之间的任一实数，则g(x)在[a,b]上连续。
不妨设A
对于B
一致连续性
闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。
所谓一致连续是指，对任意ε>0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足|x1-x2|<δ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。
证明：利用有限覆盖定理：如果H是闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，那么能从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]。详细证法参考相应词条。
反函数连续性
如果函数f在其定义域D上严格单调且连续，那么其反函数f-1也在其定义域f(D)（即f的值域）上严格单调且连续。
证明：严格单调函数必定有严格单调反函数，并且单调性相同（证法参考反函数词条），因此只要证明反函数也在其定义域上连续即可。
设f是定义在D上的严格单增的函数（严格单减同理）。作辅助函数g(x)=x，显然g(x)的反函数就是它本身。
由于g(x)在R上是连续的，因此它在D上也是连续的。
①若D是开区间，设x0是D上任意一点，由g(x)的连续性可知，对任意ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时，|g(x)-g(x0)|<ε。即|x-x0|<ε。
于是可取区间(x0-δ,x0+δ)上满足x1
设y1、y2、y0是x1、x2、x0对应的值，由f的单调性可知y1
不妨设δ’=min{y0-y1,y2-y0}=y0-y1，（等于y2-y0同理），则当|y-y0|<δ‘，即y0-δ’=y1
根据上述分析，当x1
②若D是半开半闭区间，不妨设D=[a,b)，D’=(a,b)，则f-1在f(D')上连续，因此只要证f-1在f(a)处也连续即可得到f-1在D上连续。
∵g(x)在x=a处右连续
∴对任意ε>0，存在δ>0，使得当a
可取区间(a,a+δ)上满足a
设f(a)、y1、y0是a、x1、x0对应的值，由f的单调性可知f(a)
不妨设δ’=min{y0-a,y1-y0}=y0-a，（等于y1-y0同理），则当f(a)
据上述分析，当a
同理可证若D=(a,b]时，f-1在f(D)上连续。
③若D是闭区间，则根据①和②，f-1在D的左右端点以及D的内部都连续，从而f-1在D上连续。
定理得证。
