函數形式
含參變量α(α>0)的反常積分：
性質
收斂性
Φ（s）的收斂性：當
時是正常積分，所以其收斂；當時，由柯西判别法可推得其是收斂的。Ψ（s）的收斂性：當
時，由柯西判别法推得其是收斂的。故含參量積分Γ（x）在
時收斂，其定義域為。連續性
在任何閉區間[a,b]（a>0）上，對于函數Φ（s），當
時有 ≦ ，由于 收斂，從而在[a,b]上收斂；對于，當時，有，由于收斂，從而Ψ（s）在[a,b]上也一緻收斂。于是在上連續。可導性
考察積分
。它在任何區間上一緻收斂。于是由含參量反常積分的可微性得出Γ（s）在[a,b]上可導，由a，b的任意性，在上可導。遞推公式
證明：
對下述積分應用分布積分法，有
令
就得到Γ函數的遞推公式：推論：
Г函數
當s趨于0時， Γ（s）趨于+∞
Γ函數的圖像
對于一切
，和 恒大于0，因此的圖像位于s軸的上方，且是向下凸的。因為，所以在上僅存在的極小值點 且。又 在内嚴格增，在内嚴格減。由于
所以
由
和在上嚴格增可得：綜上所述，
函數的圖像如圖1中部分所示。圖1.伽馬函數
Γ函數與Β函數之間的關系對于任意的實數p，q：
應用
已知
，試證。證明
