定理說明
高歐拉商數(highlytotientnumber)k是有以下性質的正整數:使方程式
有m個解,其中φ是歐拉函數,m為正整數,而且若k用其他較小的整數代入時,解的個數都會小于m。例如方程式
,在時,分别有個解(在k為大于1的奇數時,的解不存在),有5個解,若代入小于8的數值,解都少于5個,因此8是高歐拉商數。頭幾個高歐拉商數是:
(OEIS中的數列A097942).分别使上述方程有
及72個解。若将使分别恰有0個解、1個解、2個解……的最小k值組成一個數列,則高歐拉商數會是此數列的一個子集。例如8為高歐拉商數,有5個解,表示任何小于8的整數都無法使有5個解,因此8是使有5個解的最小k值。相關聯系
高歐拉商數的概念有點類似高合成數;1既是高合成數中唯一的奇數,也是高歐拉商數中唯一的奇數(其實1是歐拉函數值域中唯一的奇數)。而且高歐拉商數和高合成數都有無限多個,不過随着數字的增加,要找到高歐拉商數也就越來困難,因為歐拉商數和質因子分解有關,數字越大,就越難進行質因子分解。