定理内容
歐拉函數的展開式如下:
即
歐拉函數展開後,有些次方項被消去,隻留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次,留下來的次方恰為廣義五邊形數。若将上式視為幂級數,其收斂半徑為1,不過若隻是當作形式幂級數來考慮,就不會考慮其收斂半徑。
和分割函數的關系
歐拉函數的倒數是分割函數的母函數,亦即:
其中 為k的分割函數。上式配合 五邊形數定理,可以得到:
考慮 項的系數,在
時,等式右側的系數均為0,比較等式二側的系數,可得:因此可得到分割函數
的遞歸式以
為例歐拉函數的展開式如下:
即
歐拉函數展開後,有些次方項被消去,隻留下次方項為1, 2, 5, 7, 12, ...的項次,留下來的次方恰為廣義五邊形數。若将上式視為幂級數,其收斂半徑為1,不過若隻是當作形式幂級數來考慮,就不會考慮其收斂半徑。
歐拉函數的倒數是分割函數的母函數,亦即:
其中 為k的分割函數。上式配合 五邊形數定理,可以得到:
考慮 項的系數,在
時,等式右側的系數均為0,比較等式二側的系數,可得:因此可得到分割函數
的遞歸式以
為例