共点证明
∵l、m分别为线段AB、AC的中垂线
∴AF=BF=CF
∴BC中垂线必过点F
性质
设⊿ABC的外接圆为☉G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.
性质1:(1)锐角三角形的外心在三角形内;
(2)直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合;
(4)等边三角形外心与内心为同一点。
性质2:∠BGC=2∠A
性质3:∠GAC+∠B=90°
证明:如图2所示延长AG与圆交与P(B、C下面的那个点)
∵A、C、B、P四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性质4:点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是非直角⊿ABC外心的充要条件是:
(1)向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).
或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性质5:三角形三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6:点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0
做法
分别作三角形两边的中垂线交点计作O以O为圆心OA为半径画圆
圆O即为所求
求法
设三角形三边及其对角分别为a、b、c,∠A、∠B、∠C
正弦定理有1)2R=a/SinA=b/SinB=c/SinC(人教高中版)
由此可得:r=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)
r=abc/(4S△ABC)
三角形外心的向量关系
向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模(ABC为三角形三个顶点,P为外心)