發展簡史
在他大學學習的早期，闵可夫斯基對二次型産生了興趣。1881年，法國巴黎科學院發出通告，懸賞求解一個數學難題：試證任何一個正整數都可以表成五平方數的和。事實上，1847年時，艾森斯坦(Eisenstein) 一直在研究n元整系數二次型，已經就此問題給出了一個公式，但由于此時他已生病，所以證明細節一直沒有給出。随後亨利·史密斯（Henry Smith）在1867年發表了一份證明大綱，基本解決了這一問題。而巴黎科學院在确定獎項主題時，還不知道史密斯的貢獻。闵可夫斯基重建了艾森斯坦的二次型理論，漂亮的解決了這個問題。同時，史密斯修改了他早先的證明，增加了細節，也提交給了巴黎科學院。1883年4月2日，科學院将數學大獎共同頒給了闵可夫斯基和史密斯。1885年闵可夫斯基提交的博士論文《Untersuchungen überquadratische Formen, Bestimmung der Anzahl verschiedener Formen, welche eingegebenes Genus enthält》是這部獲獎作品的延續。獲得博士學位後，他繼續在哥尼斯堡從事研究工作。
1887年，波恩大學的一個教授職位空缺了，闵可夫斯基申請了這個職位；根據德國大學的規定，他必須向教師口頭提交一份原始論文。闵可夫斯基提交了論文《Räumliche Anschauung und Minima positiv definiter quadratischerFormen》。該論文當時沒有出版，而是在1991年發表于。
定理定義
闵可夫斯基不等式是空間中的三角不等式，闵可夫斯基不等式是一個非常重要的公式，對闵可夫斯基不等式的深入研究了解對于我們解決一些問題有很大的幫助。
在一個平面直角坐标系中
整點：坐标分量都是整數的點，如(3,5)、(0,0)等等。
閉區域：用一條封閉曲線圍起來的部分。
凸區域：如果區域裡任何兩點的連線完全落在這個區域裡，就稱為凸的。
坐标平面上任何包含原點的、面積大于4的、凸的、關于原點對稱的閉區域一定含有異于原點的整點。
驗證推導
任取一個關于原點對稱且面積大于1的封閉凸圖形，一定存在兩點，使橫縱坐标之差為整數。
設其中一點坐标為，另一點為，并且、都在圖形内。因圖形關于原點對稱，所以對于任意點，若其在圖形中，則關于原點的對稱點也在圖形中。所以在圖形中。連接點和點，取中點，由圖形為凸區域知，中點在圖形内。将圖形以原點為位似中心，擴大兩倍。中點則為，新圖形面積大于4，且中點是整點，位于圖形内。
對于任意一個滿足條件的圖形，都可以先縮小，找到中點後擴大，這樣一定有一異于原點的整點在圖形内，命題得證。
定理推廣
闵可夫斯基定理是卡拉西奧多裡定理對于緊凸集的精确化。
在有些文獻中，也把凸集分離定理稱為闵可夫斯基定理。
定理意義
闵可夫斯基最初的興趣是純數學，他花了很多時間研究二次型和連分數。然而，他最具獨創性的成就是他在1890年開創的“數的幾何”。《Geometrie der Zahlen》（數的幾何）首次出版于1910年，但是前240頁（共256頁）在1896年就已出現。《Geometrie der Zahlen》于1953由紐約切爾西出版社重印，并于1968年再版。1907年闵可夫斯基出版了《Diophantische Approximationen: Eine Einführung in die Zahlentheorie》（丢番圖逼近：數論導論）。該文章簡要介紹了他在數的幾何方面的工作及其在丢番圖逼近和代數數理論中的應用。對數的幾何的研究導緻了對凸體和填充問題的研究，即給定形狀的圖形可以放置在另一個給定圖形中的方法。
