概念
考慮線性方程組Ax=b時,一般當A為低階稠密矩陣時,用主元消去法解此方程組是有效方法。但是,對于由工程技術中産生的大型稀疏矩陣方程組(A的階數很高,但零元素較多,例如求某些偏微分方程數值解所産生的線性方程組),利用叠代法求解此方程組就是合适的,在計算機内存和運算兩方面,叠代法通常都可利用A中有大量零元素的特點。雅克比叠代法就是衆多叠代法中比較早且較簡單的一種,其命名也是為紀念普魯士著名數學家雅可比。
叠代過程
首先将方程組中的系數矩陣A分解成三部分,即:A=L+D+U,如圖1所示,其中D為對角陣,L為下三角矩陣,U為上三角矩陣。
之後确定叠代格式,X^(k+1)=B*X^(k)+f,(這裡^表示的是上标,括号内數字即叠代次數),如圖2所示,其中B稱為叠代矩陣,雅克比叠代法中一般記為J。(k=0,1,......)
再選取初始叠代向量X^(0),開始逐次叠代。
收斂性
設Ax=b,其中A=D+L+U為非奇異矩陣,且對角陣D也非奇異,則當叠代矩陣J的譜半徑ρ(J)<1時,雅克比叠代法收斂。
優缺點
雅克比叠代法的優點明顯,計算公式簡單,每叠代一次隻需計算一次矩陣和向量的乘法,且計算過程中原始矩陣A始終不變,比較容易并行計算。然而這種叠代方式收斂速度較慢,而且占據的存儲空間較大,所以工程中一般不直接用雅克比叠代法,而用其改進方法。
程序實現示例
#include
#include
#include
main(){
floate=0.001,z,m,a={5,2,1,-1,4,2,2,-3,10},b={-12,20,3},x={0,0,0},y;
intn=3,j,i,k=1;
while(1){
for(i=0;i<3;i++){
for(j=0;j<3;j++)
m=m+a[i][j]*x[j];
m=m-x[i]*a[i][i];
y[i]=(b[i]-m)/a[i][i];
m=0;
}
i=0;
while(i<3){
z=fabs(x[i]-y[i]);
if(z>e)
break;
i++;
}
if(i!=3){
for(i=0;i<3;i++)
x[i]=y[i];
k++;
}
elseif(i==3)
break;
}
printf("%fn%fn%fn",y,y,y);
}