簡介
概念定義
用符号“=”連接的式子叫做等式。
用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”連接的式子叫做不等式。(不等式中可以含有未知數,也可以不含。)
用不等号連接的,含有一個未知數,并且未知數的次數都是1,系數不為0,左右兩邊為整式的式子叫做一元一次不等式(linear ineqality with one unknown)。
不等式分為嚴格不等式與非嚴格不等式。一般地,用純粹的大于号、小于号“>”“<”連接的不等式稱為嚴格不等式,用不小于号(大于或等于号)、不大于号(小于或等于号)“≥”(大于等于符号)“≤”(小于等于符号)連接的不等式稱為非嚴格不等式,或稱廣義不等式。
不等式性質
(1)不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(或式子),不等号的方向不變。
(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數,不等号的方向不變。
(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數,不等号的方向改變。
數字語言簡潔表達不等式的性質——
1.性質1:如果a>b,那麼a±c>b±c)
2.性質2:如果a>b,c>0,那麼ac>bc(或a/c>b/c)
3.性質3:如果a>b,c<0,那麼ac<0
一般步驟
(1)去分母(運用不等式性質2、3)
(2)去括号
(3)移項(運用不等式性質1)
(4)合并同類項。
(5)将未知數的系數化為1(運用不等式性質2、3)
(6)有些時候需要在數軸上表示不等式的解集
不等式解集
一個有未知數的不等式的所有解,組成這個不等式的解集。例如﹕不等式x-5≤-1的解集為x≤4;不等式x﹥0的解集是所有正實數。求不等式解集的過程叫做不等式。
将一元一次不等式化為ax>b的形式
(1)若a>0,則解集為x>b/a
(2)若a<0,則解集為x
表示
(1)用不等式表示:一般地,一個含未知數的不等式有無數個解,其解集是一個範圍,這個範圍可用最簡單的不等式表達出來,例如:x-1≤2的解集是x≤3。
(2)用數軸表示:不等式的解集可以在數軸上直觀地表示出來,形象地說明不等式有無限多個解,用數軸表示不等式的解集要注意兩點:一是定邊界線;二是定方向。
(3)能使不等式成立的未知數的值,叫做不等式的解。
不等式組
(1)一般地,關于同一個未知數的幾個一元一次不等式合在一起,就組成一個一元一次不等式組。
(2)一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分,叫做這個一元一次不等式組的解集。求不等式組解集的過程,叫做解不等式組。
綜合運用
一般先求出函數表達式,再化簡不等式求解。
解題步驟
(1)求出每個不等式的解集;
(2)求出每個不等式的解集的公共部分;(一般利用數軸)
(3)用代數符号語言來表示公共部分。(也可以說成是聲明結論)
常見解法
如果a
(1)關于x不等式組{x>a}{x>b}的解集是:x>b
(3)關于x不等式組{x>a}{x
(4)關于x不等式組{xb}的解集是空集。n
以上取解集的方法可歸納為:兩大取大,兩小取小,大小小大取中間,大大小小無解
特殊不等式組解
(1)關于x不等式(組):{x≥a}{x≤a}的解集為:
(2)關于x不等式(組):{xa}的解集是空集。
與一元一次方程
不同點:一元一次不等式表示不等關系,一元一次方程表示相等關系;一個是運用等式的基本性質,另一個則是不等式的基本性質。
相同點:二者都是隻含有一個未知數,未知數的次數都是1,左右兩邊都是整式。一般步驟都是:去分母;去括号;移項;合并同類項;将未知數的系數化為1。
試題列舉
1、一本英語書98頁,孟濤讀了7天(一周)還沒讀完,而張浩不到一周就讀完了,張浩平均每天比孟濤多讀3頁,問孟濤每天讀多少頁?
解:設孟濤每天讀x頁,則張浩讀(x+3)頁,由題意,得:
{98/x>7
{98/(x+3)<7
解得:11
∴孟濤每天讀12或13頁
∴x+3=15或16頁
∴張浩每天讀15或16頁