歐拉定理:數學公式定理-中文百科頻道

發展簡史

歐拉和丹尼爾·伯努利一起，建立了彈性體的力矩定律：作用在彈性細長杆上的力矩正比于物質的彈性和通過質心軸和垂直于兩者的截面的慣性動量。

他還直接從牛頓運動定律出發，建立了流體力學裡的歐拉方程。這些方程組在形式上等價于粘度為0的納維-斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在于它們能被用來研究沖擊波。

他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創始人，這些計算法被用于計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。

在數論裡他引入了歐拉函數。

自然數的歐拉函數被定義為小于并且與互質的自然數的個數。例如，，因為有四個自然數1，3，5和7與8互質。

在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼算法也正是以歐拉函數為基礎的。

在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數。

他在1735年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲：

其中是黎曼函數。

歐拉将虛數的幂定義為如下公式:這就是歐拉公式，它成為指數函數的中心。

在初等分析中，從本質上來說，要麼是指數函數的變種，要麼是多項式，兩者必居其一。被理查德·費曼稱為“最卓越的數學公'”的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：

在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數：

他是歐拉-馬歇羅尼公式的發現者之一，這一公式在計算難于計算的積分、求和與級數的時候極為有效。

在1739年，歐拉寫下了《音樂新理論的嘗試(Tentamennovaetheoriaemusicae)》，書中試圖把數學和音樂結合起來。

一位傳記作家寫道：這是一部"為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的"著作。

在經濟學方面，歐拉證明，如果産品的每個要素正好用于支付它自身的邊際産量，在規模報酬不變的情形下，總收入和産出将完全耗盡。

在幾何學和代數拓撲學方面，歐拉公式給出了單聯通多面體的邊、頂點和-(zh-hans:面;zh-hant:面)-之間存在的關系：:

其中，F為給定多面體的面數之和，E為邊數之和，V為頂點數之和。

這個定理也可用于平面圖。對非平面圖，歐拉公式可以推廣為：如果一個圖可以被嵌入一個流形，則：:其中χ為此流形的歐拉特征值，在流形的連續變形下是不變量。

單聯通流形，例如球面或平面，的歐拉特征值是2。

對任意的平面圖，歐拉公式可以推廣為：，其中為圖中連通分支數。

在1736年，歐拉解決了柯尼斯堡七橋問題，并且發表了論文《關于位置幾何問題的解法 (Solutioproblematisadgeometriamsituspertinentis)》，對一筆畫問題進行了闡述，是最早運用圖論和拓撲學的典範。

數獨是歐拉發明的拉丁方塊的概念,在當時并不流行,直到20世紀由平凡日本上班族鍛治真起,帶起流行

最有影響的100人--歐拉

定理定義

歐拉定律是數學上的一個定律。一方面，邊際生産力理論使用歐拉定律的特殊形式來論證自己的内容，試圖證明自身的完善性；另一方面，一些西方學者則使用歐拉定律來诘難邊際生産力理論。正是歐拉定理所形成的潔難證明了邊際生産力理論是不能成立的。

驗證推導

“歐拉定律”是說明齊次函數的一個性質的數學定律。因此，我們首先需要說明齊次函數。

（一）齊次函數用

表示一個函數。如果這個函數恒等地滿足下列關系式

則将這個函數稱為次齊次函數。當時，則将這個函數稱為一次齊次函數，也稱為線性齊次函數。對于一次齊次函數有關系式

存在。一次齊次函數是齊次函數的特殊形式。

（二）歐拉定律對于次齊次函數

隻要它可微，就有

關系式存在。齊次函數的這個性質稱為歐拉定律。這是歐拉定律的一般形式。對于一次齊次函數，由于，根據歐拉定律，有

關系式存在。這是當函數為一次齊次函數時歐拉定律的特殊形式。

定理推廣

筆畫不僅存在于圖畫遊戲中，在現實生活中也是處處可見的。例如，假期你來到了某個從未到過的城市，總希望有機會能把城市裡幾條最繁華的街道都逛上一遍。或者某幾個星期，你來到一個幽靜的公園，見到那明鏡般的湖面分布着幾個小島，湖岸和它們之間有幾座玲珑的小橋，你也許會遊興大發，想試試能否從一處出發，把湖上所有的小橋都不重複地走過一遍，後回到原出發地，這些問題都可以化歸為一筆畫問題，涉及到了歐拉定理的應用。