概述
梅森素數，(Mersenne Primes)，17世紀法國數學家、法蘭西科學院奠基人馬林•梅森，梅森素數指形如2^p－1的正整數，其中指數p是素數，常記為Mp。若Mp是素數，則稱為梅森素數。p=2，3，5，7時，Mp都是素數，但M11=2047=23×89不是素數，是否有無窮多個梅森素數是數論中未解決的難題之一。截止2012年7月累計發現47個梅森素數，最大的是p=43,112,609，此時Mp是一個12,978,189位數。
這種素數曆來是數論研究的一項重要内容，也是當今科學探索的熱點和難點之一，由于梅森素數珍奇而迷人，它被人們譽為“數論中的鑽石”。
曆史發現
早在公元前300多年，古希臘數學家歐幾裡得就開創了研究2^P－1的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述完美數時指出：如果2^P－1是素數，則2^P－1（2^P－1）是完美數。
1640年6月，費馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質。我相信它們将成為今後解決素數問題的基礎”，這封信讨論了形如2^P－1的數（其中p為素數）。梅森在歐幾裡得、費馬等人的有關研究的基礎上對2^P－1作了大量的計算、驗證工作。
1644年，在他的《物理數學随感》一書中斷言：對于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，2^P－1是素數；而對于其他所有小于257的數時，2^P－1是合數。前面的7個數（即2，3，5，7，13，17和19）屬于被證實的部分，是他整理前人的工作得到的；而後面的4個數（即31，67，127和257）屬于被猜測的部分。
1772年，瑞士數學家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了M31是一個素數，它共有10位數，堪稱當時世界上已知的最大素數，他因此獲得了“數學英雄”的美譽。這是尋找已知最大素數的先聲。歐拉還證明了歐幾裡得關于完美數的定理的逆定理，即：每個偶完美數都具有形式2^P－1（2^P－1），其中2^P－1是素數。這就使得偶完美數完全成了梅森素數的“副産品”了。
1883年，數學家波佛辛利用魯卡斯定理證明了M61也是素數——這是梅森漏掉的。梅森還漏掉另外兩個素數：M89和M107，它們分别在1911年與1914年被數學家鮑爾斯發現。
1903年，在美國數學學會的大會上，數學家柯爾作了一個一言不發的報告，他在黑闆上先算出2^67－1，接着又算出193707721×761838257287，兩個結果相同，這在美國數學學會開會的曆史上是絕無僅有的一次。他第一個否定了“M67為素數”這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結論。1922年，數學家克萊契克進一步驗證了M257并不是素數，而是合數（但他沒有給出這一合數的因子，直到20世紀80年代人們才知道它有3個素因子）。
1930年，美國數學家雷默改進了魯卡斯的工作，給出了一個針對Mp的新的素性測試方法，即魯卡斯-雷默方法：Mp＞3是素數的充分必要條件是Lp-2=0，其中L0=4，Ln+1=(Ln－2)ModMp。這一方法直到今天的“計算機時代”仍發揮重要作用。
1952年，數學家魯濱遜等人将魯卡斯-雷默方法編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在短短幾小時之内，就找到了5個梅森素數：M521、M607、M1279、M2203和M2281。其後，M3217在1957年被黎塞爾證明是素數；M4253和M4423在1961年被赫維茲證明是素數。
1963年，美國數學家吉裡斯證明M9689和M9941是素數。1963年9月6日晚上8點，當第23個梅森素數M11213通過大型計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，以第一時間發布了這一重要消息；發現這一素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，以緻于把所有從系裡發出的信件都敲上了“2^11213－1是個素數”的郵戳。
1971年3月4日晚，美國哥倫比亞廣播公司（CBS）中斷了正常節目播放，發布了塔可曼使用IBM360-91型計算機找到新的梅森素數M19937的消息。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機構（包括中國的新華社）都報道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾和尼科爾使用CYBER174型計算機找到了第25個梅森素數：M21701。
1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數M23209時，人們告訴他們：在兩個星期前諾爾已得到這一結果。為此，史洛溫斯基潛心發憤，花了一個半月的時間，使用CRAY-1型計算機找到了新的梅森素數M44497。
1983年至1985年間找到了3個梅森素數：M86243、M132049和M216091。但他未能确定M86243和M216091之間是否有異于M132049的梅森素數。
1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-FX2型超高速并行計算機果然捕捉到了一條“漏網之魚”——M110503。
1992年3月25日，英國原子能技術權威機構——哈威爾實驗室的一個研究小組宣布他們找到了新的梅森素數M756839。
1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現“已知最大素數”的桂冠——這一素數是M859433。
在1996年，梅森素數M1257787仍是他們的成果，這一素數是使用CRAY-794超級計算機取得的，史洛溫斯基由于發現7個梅森素數，而被人們譽為“素數大王”。
2004年5月15日，美國國家海洋和大氣局顧問、數學愛好者喬希·芬德利(Josh Findley)用一台裝有2.4GHZ奔騰處理器的個人計算機，找到了當時世界上已知最大的梅森素數。該素數為2的24036583次方減1(即2^24036583－1)，它有7235733位數，如果用普通字号将這個數字連續寫下來，它的長度可達3萬米，它是2000多年來人類發現的第41個梅森素數，也是當時已知的最大素數。
2005年2月28日，一名德國數學愛好者于2月18日發現了一個新的素數，這個素數有7816230位，可以寫成2^25964951-1。
2007年秋季，美國加州大學洛杉矶分校(UCLA)的計算機專家埃德森·史密斯利用數學系所有的計算機參加了一個名為“因特網梅森素數大搜索”(GIMPS)的國際合作項目，前不久他在其中的一台計算機上偶然發現了這個超大的素數。這是人類迄今為止發現的第46個也是最大的梅森素數。2^43112609-1，也就是2自身相乘43112609次減1，它有12978189位數，如果用普通字号将這個巨數連續寫下來，這個梅森素數的長度可超過50公裡。
分布規律
人們在尋找梅森素數的同時，對其重要性質——分布規律的研究也在進行着。從已發現的梅森素數來看，它們在正整數中的分布時疏時密、極不規則；從發現梅森素數的時間來看，有時許多年未能找到一個，而有時則一下找到好幾個。梅森素數已發現的數量很少，且人們對其無窮性尚未可知，因此探索它的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。數學家們在長期的摸索中，提出了一些猜想，英國數學家香克斯、美國數學家吉裡斯、法國數學家托洛塔和德國數學家伯利哈特曾分别給出過關于梅森素數分布的猜測。但他們的猜測有一個共同點，就是都以近似表達式給出，而它們與實際情況的接近程度均未盡如人意。
中國數學家和語言學家周海中根據已知的梅森素數及其排列，巧妙地運用聯系觀察法和不完全歸納法，于1992年2月正式提出了一個關于梅森素數分布的猜想，并首次給出其分布的精确表達式。後來這一重要猜想被國際數學界命名為“周氏猜測”。其内容為：
當2^（2^n）＜p＜2^（2^（n+1））時，Mp有2^（n+1）－1個是素數。
周海中還據此作出了p＜2^（2^（n+1））時梅森素數的個數為2^（n+2）－n－2的推論。（注：n為自然數，p為素數，Mp為梅森數）
周氏猜測自提出以來一直受到人們關注和研究，而且在一些國内外出版的數學辭典和教科書中都有介紹。美籍挪威數論大師、菲爾茨獎和沃爾夫獎得主阿特勒·塞爾伯格認為：周氏猜測具有創新性，開創了富于啟發性的新方法；其創新性還表現在揭示新的規律上。
周氏猜測的表達式雖然簡單，但破解這一猜測的難度卻很大。就目前研究文獻來看，一些數學家和數學愛好者嘗試破解周氏猜測，卻至今未能證明或反證。
研究意義
自古希臘時代直至17世紀，人們尋找梅森素數的意義似乎隻是為了尋找完美數。但自梅森提出其著名斷言以來，特别是歐拉證明了歐幾裡得關于完美數的定理的逆定理以來，完美數已僅僅是梅森素數的一種“副産品”了。
尋找梅森素數是發現已知最大素數的最有效的途徑，自歐拉證明M31為當時最大的素數以來，在發現已知最大素數的世界性競賽中，梅森素數幾乎囊括了全部。
梅森素數的探究在當代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素數是發現已知最大素數的最有效的途徑，近百年來找到的“最大素數”幾乎都是梅森素數。梅森素數的探究還推動了“數學皇後”——數論的研究，促進了計算技術、密碼技術和程序設計技術的發展。
尋找梅森素數是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段。如M1257787就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時得到的。梅森素數在推動計算機功能改進方面發揮了獨特作用。發現梅森素數不僅僅需要高功能的計算機，它還需要素數判别和數值計算的理論與方法以及高超巧妙的程序設計技術等等，因而它還推動了數學皇後——數論的發展，促進了計算數學、程序設計技術的發展。
梅森素數在實用領域也有用武之地，現在人們已将大素數用于現代密碼設計領域。其原理是：将一個很大的數分解成若幹素數的乘積非常困難，但将幾個素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。
尋找梅森素數促進了分布式計算技術的發展。從最新的7個梅森素數是在因特網項目中發現這一事實，分布式計算技術使得用大量個人計算機去做本來要用超級計算機才能完成的項目成為可能；這是一個前景非常廣闊的領域。
梅森素數促進了當代計算技術、密碼技術、程序設計技術的發展以及快速傅立葉變換的應用。梅森素數的意義還在于它促進了網格技術的發展；而網格技術是一項應用非常廣闊的高新技術。另外，梅森素數還可用來測試計算機硬件運算是否正确。[1]
相關命題和定理
性質
q≡3mod4為素數。則2q+1是素數的充分必要條件是2q+1整除Mq。
拉馬努金給出：方程Mq=6+x2當q為3、5和7時有三個解；q為合數時有2個解。
如果p是奇素數，那麼任何能整除2p−1的素數q都一定是1加上一個2p的倍數。例如，211−1=23×89，而23=1+2×11，89=1+8×11。
如果p是奇素數，那麼任何能整除的素數q都一定與同餘。
計算公式
由計算公式知：q是素數是Mq是素數的必要條件。但這不是充分的。M11=211−1=23×89是個反例。
對Mq（q是素數）有：
若a是Mq的因數，則a有如下性質：
a≡1mod2qa≡±1mod8
歐拉的一個關于形如1+6k的數的理論表明：Mq是素數當且僅當存在數對（x,y）使得Mq=(2x)2+3(3y)2，其中q≥5。
最近，Bas jansen研究了等式Mq=x2+dy2（0≤d≤48），得出了一個對于d=3情況下的新的證明方法。
Reix發現q>3時，Mq可以寫成：Mq=(8x)2(3qy)2=(1+Sq)2-(Dq)2。顯然，若存在一個數對（x,y），那麼Mq是素數。
素數檢驗
盧卡斯-萊默檢驗法是現在已知的檢測梅森數素數的最好的方法。該方法由愛德華·盧卡斯于1878年發現，并由萊默1930年代作了改進，因此得名。該方法基于循環數列的計算，其原理是：
Mn為素數當且僅當Mn整除Sn-2（S0=4，Sk=Sk−12−2，k>0）。
與完全數的關系
梅森素數與偶完全數有一一對應的關系。前4世紀，歐幾裡得（Euclid）證明如果M是梅森素數，那麼M(M+1)/2是完全數。18世紀，歐拉（Euler）證明所有的偶完全數都有這種形式。
相關問題和猜想
梅森素數是否有無窮多個？這是尚未解決的著名數學謎題；而揭開這一未解之謎，正是科學追求的目标。
