證明過程
證明:因為函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,所以存在最大值與最小值,分别用M和m表示,分兩種情況讨論:
1.若M=m,則函數f(x)在閉區間[a,b]上必為常數,結論顯然成立。
2.若M>m,則因為f(a)=f(b)使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)内某點ξ處取得,從而ξ是f(x)的極值費馬引理點,由條件f(x)在開區間(a,b)内可導得f(x)在ξ處可導,故由推知:f'(ξ)=0。
羅爾中值定理的幾何意義
若連續曲線y=f(x)在區間[a,b]上所對應的弧段AB,除端點外處處具有不垂直于x軸的切線,且在弧的兩個端點A,B處的縱坐标相等,則在弧AB上至少有一點C,使曲線在C點處的切線平行于x軸。