定義
在同一平面内，永不相交的兩條直線叫做平行線。平行線一定要在同一平面内定義，不适用于立體幾何，比如異面直線，不相交，也不平行。
基本定義
在高等數學中的平行線的定義是相交于無限遠的兩條直線為平行線，因為理論上是沒有絕對的平行的。
基本特征
平行線的定義包括三個基本特征：一是在同一平面内，二是兩條直線，三是不相交。
在同一平面内，兩條直線的位置關系隻有兩種：平行和相交。
歐氏幾何中平行線的性質和判定
1、平行線的性質
平行線的性質與平行線的判定不同，平行線的判定是由角的數量關系來确定線的位置關系，而平行線的性質則是由線的位置關系來确定角的數量關系，平行線的性質與判定是因果倒置的兩種命題。對平行線的判定而言，兩直線平行是結論,而對平行線的性質而言，兩直線平行卻是條件。已知兩直線平行。由平行線得到角的關系是平行線的性質，包括：①兩直線平行，同位角相等；②兩直線平行，内錯角相等；③兩直線平行，同旁内角互補。
2、平行線的平行公理
（1）經過直線外一點，有且隻有一條直線與已知直線平行。
（2）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，内錯角相等，同旁内角互補。
注意：隻有兩條平行線被第三條直線所截，同位角才會相等，内錯角相等，同旁内角互補
3、平行線的判定
（1）同位角相等，兩直線平行。
（2）内錯角相等，兩直線平行。
（3）同旁内角互補，兩直線平行。
（4）在同一平面内，垂直于同一直線的兩條直線互相平行。
（5）在同一平面内，平行于同一直線的兩條直線互相平行。
（6）同一平面内永不相交的兩直線互相平行。
在歐幾裡得幾何原本的體系中，這幾條判定法則不依賴于第五公設（平行公理），所以在非歐幾何中也成立。
平行公理
平行公理：經過直線外一點，有且隻有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。平行公理的推論體現了平行線的傳遞性，它可以作為以後推理的依據。
在歐幾裡得的幾何原本中，第五公設（又稱為平行公理）是關于平行線的性質。它的陳述是：
“在平面内，如果兩條直線被第三條直線所截，一側的同旁内角之和大于兩個直角，那麼最初的兩條直線相交于這對同旁内角的另一側。”
這條公理的陳述過于冗長。在1795年，蘇格蘭數學家Playfair提出了以下以下公理作為平行公理的代替，在被人們廣泛的使用。
Playfair's Postulate:在同一平面内，過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線互相平行。
平行公理的推論：（平行線的傳遞性）如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也互相平行。可以簡稱為：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。
定義的拓展
在歐氏幾何中，在兩條平行線中做一條直線AB，以直線AB為半徑以逆時針方向做圓，然後以直線AB為半徑以順時針方向再做一個圓，從兩個圓的交點做垂線CD垂直于直線AB，若CD與AB的角的角度是90度，則說明兩條平行線不會相交。
但歐幾裡得不敢思考當兩條平行線無限長時的情況。
于是包括羅素、黎曼在内的科學家假設當兩條平行線無限長時，他們會在無窮遠處相交。後來，非歐幾何和黎曼空間就誕生了，該成果給了愛因斯坦很大的啟發。
平行線公理就是區分歐氏幾何與非歐幾何的一個重要區别。
