證明
證明如下：首先，把這6個人設為A、B、C、D、E、F六個點。由A點可以引出AB、AC、AD、AE、AF五條線段。設：如果兩個人認識，則設這兩個人組成的線段為紅色；如果兩個人不認識，則設這兩個人組成的線段為藍色。由抽屜原則可知：這五條線段中至少有三條是同色的。不妨設AB、AC、AD為紅色。若BC或CD為紅色，則結論顯然成立。若BC和CD均為藍色，則若BD為紅色，則一定有三個人相互認識；若BD為藍色，則一定有三個人互相不認識。
相關術語
Ramsey數
一對常數a和b,對應于一個整數r,使得r個人中或有a個人相互認識，或有b個人互不認識；或有a個人互不認識，或有b個人相互認識，這個數r的最小值用R(a,b)來表示，也就是R(a,b)個頂點的完全圖，用紅藍兩種顔色進行着色,無論何種情況必至少存在以下兩者之一：(1)一個a個頂點着紅顔色的完全子圖，或一個b個頂點着藍顔色的完全子圖；(2)一個a個頂點着藍顔色的完全子圖，或一個b個頂點着紅顔色的完全子圖。
上述問題可以看作是R(3,3)=6的一個特列。
已知的Ramsey數非常少，保羅·艾狄胥曾以一個故事來描述尋找拉姆齊數的難度：“想像有隊外星人軍隊在地球降落，要求取得R(5,5)的值，否則便會毀滅地球。在這個情況，我們應該集中所有電腦和數學家嘗試去找這個數值。若它們要求的是R(6,6)的值，我們要嘗試毀滅這班外星人了。”
Ramsey證明，對于給定的正整數數k及l，R(k,l)的答案是唯一和有限的。
一般的Ramsey數
若把以上讨論中紅、藍兩種顔色改為k種顔色c1,c2,...,ck，把存在a條邊的同色完全圖，或b條邊的同色完全圖，改為或a1,或a2,...，或a條邊的同色完全圖，即得到Ramsey數R(a1,a2,...,ak)，即對r個頂點的完全圖，用k種顔色c1,c2,...,ck任意染色，必然是或出現以c1顔色的a1個頂點的完全圖,或出現以c2顔色的a2個頂點的完全圖，...,或出現以ck顔色的ak個頂點的完全圖，這樣的整數r的最小值用R(a1,a2,...ak)表示。
針對Ramsey定理擴展到任意多種顔色的情況，我們給出一個非常簡略的介紹。如果n1，n2和n3都是大于或等于2的整數，則存在整數p，使得Kp→Kn1，Kn2，Kn3。
也就是說，如果把Kp的每條邊着上紅色、藍色或綠色，那麼或者存在一個紅Kn1，或者存在一個藍Kn2，或者存在一個綠Kn3。使該結論成立的最小整數p稱為Ramsey數r(n1，n2，n3)。已知這種類型的僅有的非平凡Ramsey數為r(3，3，3)=17。
因此，K17→K3，K3，K3，而K16→K3，K3，K3。我們可以用類似的方法定義Ramsey數r(n1，n2，…，nk)，而對于點對Ramsey定理的完全一般形式是這些數存在；即存在整數p，使得Kp→Kn1，Kn2，…，Knk成立。
Ramsey定理還有更一般的形式，在這種形式中點對（兩個元素的子集）換成了t個元素的子集，其中t≥1是某個整數。令Ktn表示n元素集合中所有t個元素的子集的集合。将上面的概念擴展，Ramsey定理的一般形式可叙述如下：
給定整數t≥2及整數q1，q2，…，qk≥t，存在一個整數p，使得Ktp→Ktq1，Ktq2，…，Ktqk成立。也就是說，存在一個整數p，使得如果給p元素集合中的每一個t元素子集指定k種顔色c1，c2，…，ck中的一種，那麼或者存在q1個元素，這些元素的所有t元素子集都被指定為顔色c1，或者存在q2個元素，這些元素的所有t元素子集都被指定為顔色c2，…，或者存在qk個元素，它的t元素子集都被指定為顔色ck。這樣的整數中最小的整數p為Ramsey數rt(q1，q2，…，qk)。
假設t=1。于是，r1(q1，q2，…，qk)就是滿足下面條件的最小的數p：如果p元素集合的元素被用顔色c1，c2，…，ck中的一種顔色着色，那麼或者存在q1個都被着成顔色c1的元素，或者存在q2個都被着成顔色c2的元素，…，或者存在qk個都被着成顔色ck的元素。因此，根據鴿巢原理的加強版，有r1(q1，q2，…，qk)=q1+q2+…+qk-k+1這就證明Ramsey定理是鴿巢原理的加強版的擴展。
确定一般的Ramsey數rt(q1，q2，…，qk)是一個困難的工作。關于它們的準确值我們知道得很少。但不難看出，rt(t，q2，…，qk)=rt(q2，…，qk)并且q1，q2，…，qk的排列順序不影響Ramsey數的值。
