柯西簡介
柯西（Cauchy Augustin-Louis，1789－1857），法國數學家，1789年8月21日生于巴黎，他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員，在法國動蕩的政治漩渦中一直擔任公職。由于家庭的原因，柯西本人屬于擁護波旁王朝的正統派，是一位虔誠的天主教徒。
他在純數學和應用數學的功底是相當深厚的，很多數學的定理、公式都以他的名字來稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式。在數學寫作上，他被認為在數量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書，以《分析教程》（1821年）和《關于定積分理論的報告》（1827年）最為著名。不過他并不是所有的創作都質量很高，因此他還曾被人批評“高産而輕率”，這點倒是與數學王子（高斯）相反。據說，法國科學院《會刊》創刊的時候，由于柯西的作品實在太多，以緻于科學院要負擔很大的印刷費用，超出科學院的預算，因此，科學院後來規定論文最長的隻能夠到四頁。柯西較長的論文因而隻得投稿到其它地方。
定義定理
二維形式
公式變形：
等号成立條件：當且僅當（即）時。
一般形式
等号成立條件：，或中有至少一方全為零。
上述不等式等同于概述圖中的不等式。
一般形式推廣
此推廣形式又稱卡爾松不等式，其表述是：在m×n矩陣中，各列元素之和的幾何平均不小于各行元素的幾何平均之和。二維形式是卡爾松不等式n=2時的特殊情況。
向量形式
推廣：
三角形式
等号成立條件：，且（即）。
概率論形式
積分形式
一般形式
設V是一線性空間，在V上定義了一個二元實函數，稱為内積，記做，它具有以下性質：
1、
2、
3、
4、，當且僅當時
并定義 α 的長度，則柯西不等式表述為：
驗證推導
二維形式的證明
等号在且僅在即時成立。
三角形式的證明
兩邊開平方得：
向量形式的證明
（隻是對二維的說明）
概率論形式的證明
積分形式的證明
構造一個二次函數，
所以該二次函數與x軸至多一個交點， ，
即
當且僅當 與 線性相關時 等号成立。
一般形式的證明
剩餘幾種情形都是一般情形的特例，完全可以用一般情形的證明方法來證。
另一種寫法：
定理推廣
複變函數中
若函數在區域D及其邊界上解析，為D内一點，以為圓心做圓周，隻要及其内部G均被D包含，則有：
其中M是的最大值， 。
證明：有柯西積分公式可知
所以
利用柯西-比内公式還可得到更廣義的柯西不等式如下:令A,B為兩個m×n矩陣(m>n),則有:det(A*AT)*det(B*BT)≥(det(A*BT))^2
其他不等式
其他不等式敬請參見以下詞條：
卡爾松不等式
琴生不等式
均值不等式
絕對值不等式
權方和不等式
赫爾德不等式
闵可夫斯基不等式
伯努利不等式
排序不等式
基本不等式
應用例子
柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，技巧以拆常數，湊常值為主。
巧拆常數證不等式
例：設a、b、c為正數且互不相等，求證：。
證明：将a+b+c移到不等式的左邊，化成：
由于a、b、c為正數且互不相等，等号取不到。
附用基本不等式證 設 ，則所證不等式等價于
因為。 所以上式顯然成立。
求某些函數最值
例：求函數的最大值。
函數的定義域為[5，9]，y>0，由柯西不等式變形
則。
函數僅在，即時取到。
