實數的倒數
1.求一個分數的倒數,例如 ,我們隻須把 這個分數的分子和分母交換位置,即得 的倒數為 ;
2.求一個整數的倒數,隻須把這個整數看成是分母為1的分數,然後再按求分數倒數的方法即可得到。如12,即,再把
這個分數的分子和分母交換位置,把分子做分母,分母做分子,則有,即12的倒數是 ;
3.說明:倒數是本身的數是1和-1,正數的倒數是正數,負數的倒數是負數,0沒有倒數;
4.把0.25化成分數,即 ,再把 這個分數的分子和分母交換位置,把原來的分子做分母,原來的分母做分子.則是 ,再把 化成整數,即4.所以0.25是4的倒數。也可以說4是0.25的倒數.也可以用1去除以這個數,例如0.25,1/0.25等于4,所以0.25的倒數4;
5.求倒數的約分問題。在求倒數過程中,可約分的要約分,如 ,約分以後成 ,最後将其分子分母調換位置,得到 ,即為 的倒數;
因此乘積是1的兩個數互為倒數。
數論倒數
而在數論中,還有數論倒數的概念,如果兩個數a和b,它們的乘積關于模m餘1,那麼我們稱它們互為關于模m的數論倒數。比如 ,所以3是2關于5的數論倒數.數論倒數在中國剩餘定理中非常重要。而輾轉相除法提供了計算數論倒數的方法。
群論中倒數
近世代數中有群,域,環等概念,其中定義了抽象的乘法運算和單位元.同樣的,關于其乘法如果有乘法逆,同樣可以看成是倒數。
特點
倒數的特點:一個正實數(1除外)加上它的倒數 一定大于2。
理由:,為倒數當時一定大于1,可寫為因為,又因為 ,所以,所以,所以 ,所以一個正實數加上它的倒數一定大于2。
當 時也一樣。
同理可證,一個負實數(-1除外)加上它的倒數一定小于-2。
求證:a,b均為非1正實數,且a不等于b,和互為倒數,.
證明:因為,所以
,又因為a,b均為非1正實數,且a不等于b,所以,所以,所以,即。
解題
在四則混合運算中,有時會用到倒數來解題,正規解起來很麻煩。
- 例如:計算
第一種方法:
解:原式的倒數=
=
=
=
=
所以,原式=.
第二種方法:
解:=
=
它的倒數為
=因為此處0不可以作為除數,故用乘法代替。
=
=
所以,原式=.
負倒數
乘積為-1的兩個實數互為負倒數,實數x的負倒數記為 或 。一個實數的倒數和其負倒數是相反數,0沒有倒數或負倒數。