簡介
在數學中，雙曲線（多重雙曲線或雙曲線）是位于平面中的一種平滑曲線，由其幾何特性或其解決方案組合的方程定義。雙曲線有兩片，稱為連接的組件或分支，它們是彼此的鏡像，類似于兩個無限弓。
雙曲線是由平面和雙錐相交形成的三種圓錐截面之一。（其他圓錐部分是抛物線和橢圓，圓是橢圓的特殊情況）如果平面與雙錐的兩半相交，但不通過錐體的頂點，則圓錐曲線是雙曲線。
雙曲線出現在許多方面：
作為在笛卡爾平面中表示函數的曲線；作為日後的陰影的路徑；作為開放軌道（與閉合的橢圓軌道不同）的形狀，例如在行星的重力輔助擺動期間航天器的軌道，或更一般地，超過最近行星的逃逸速度的任何航天器；作為一個單一的彗星（一個旅行太快無法回到太陽系）的路徑；作為亞原子粒子的散射軌迹（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在無線電導航中，當距離到兩點之間的距離而不是距離本身可以确定時，等等。
雙曲線的每個分支具有從雙曲線的中心進一步延伸的更直（較低曲率）的兩個臂。對角線對面的手臂，一個從每個分支，傾向于一個共同的線，稱為這兩個臂的漸近線。所以有兩個漸近線，其交點位于雙曲線的對稱中心，這可以被認為是每個分支反射以形成另一個分支的鏡像點。在曲線的情況下，漸近線是兩個坐标軸。
雙曲線共享許多橢圓的分析屬性，如偏心度，焦點和方向圖。許多其他數學物體的起源于雙曲線，例如雙曲抛物面（鞍形表面），雙曲面（“垃圾桶”），雙曲線幾何（Lobachevsky的着名的非歐幾裡德幾何），雙曲線函數（sinh，cosh，tanh等）和陀螺儀矢量空間（提出用于相對論和量子力學的幾何，不是歐幾裡得）。
名稱定義
我們把平面内與兩個定點F1，F2的距離的差的絕對值等于一個常數（常數為2a，小于|F1F2|）的軌迹稱為雙曲線;平面内到兩定點的距離差的絕對值為定長的點的軌迹叫做雙曲線。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定義1：
平面内，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數2a（小于這兩個定點間的距離）的點的軌迹稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，兩焦點之間的距離稱為焦距，用2c表示。
定義2：平面内，到給定一點及一直線的距離之比為常數e（e>1，即為雙曲線的離心率；定點不在定直線上）的點的軌迹稱為雙曲線。定點叫雙曲線的焦點，定直線叫雙曲線的準線。
定義3：一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行也不通過圓錐面頂點，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。
定義4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0滿足以下條件時，其圖像為雙曲線。
1、系數矩陣滿秩，即
2、Δ=B2-AC>0
在高中的解析幾何中，學到的是雙曲線的中心在原點，圖像關于x，y軸對稱的情形。這時雙曲線的方程退化為：.Ax²+Cy²+F=0
上述的四個定義是等價的，并且根據負号的前後位置判斷圖像關于x，y軸對稱。
特征介紹
标準方程
1、焦點在x軸上時為：
（a>0，b>0）
2、焦點在y軸上時為：
（a>0，b>0）
其中：||PF1|-|PF2||=2a，b²=c²-a²，|F1F2|=2c。
分支
可以從圖像中看出，雙曲線有兩個分支。當焦點在x軸上時，為左支與右支；當焦點在y軸上時，為上支與下支。
焦點
在定義1中提到的兩個定點稱為該雙曲線的焦點，定義2中提到的一給定點也是雙曲線的焦點。雙曲線有兩個焦點，焦點的橫（縱）坐标滿足c²=a²+b²。
準線
在定義2中提到的給定直線稱為該雙曲線的準線。
雙曲線的準線的方程是：（焦點在x軸）或（焦點在y軸）
離心率
在定義2中提到的到給定點與給定直線的距離之比，稱為該雙曲線的離心率。
離心率e=frac{c}{a}
雙曲線有兩個焦點，兩條準線。（注意：盡管定義2中隻提到了一個焦點和一條準線，但是給定同側的一個焦點，一條準線以及離心率可以根據定義2同時得到雙曲線的兩支，并且兩支關于虛軸對稱。所以在兩側的焦點，準線和相同離心率得到的雙曲線是相同的。）
頂點
雙曲線和它的焦點連線所在直線有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點。
實軸
兩頂點之間的線段稱為雙曲線的實軸，實軸長的一半稱為半實軸。
虛軸
在标準方程中令x=0，得y²=-b²，該方程無實根，為便于作圖，在y軸上畫出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2為虛軸。
漸近線
雙曲線有兩條漸近線。漸近線和雙曲線不相交。
漸近線的方程求法是：将标準方程的右邊的常數改為0，即可用解二元二次的方法求出漸近線的解。
以焦點在x軸上的雙曲線為例，将方程改為，移項之後兩邊開平方得，這就是焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程。
同理可知焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程為。
參數方程
焦點在x軸上的雙曲線的參數方程為，，其中參數t的範圍是[0,2π)且
極坐标方程
以雙曲線的右焦點為極點，x軸正方向為極軸建立極坐标系，則雙曲線的極坐标方程為。其中e是雙曲線的離心率，e>1；叫做雙曲線的焦準距，即焦點到對應準線的距離。
注意極角θ的取值，因雙曲線的e>1，會出現分母為0的情況。解1-ecosθ=0，得cosθ=1/e=a/c，在[0,2π)上存在兩個點使得等式成立。事實上這兩個角恰好就是兩條漸近線的傾斜角。
若以左焦點為極點，仍然以x軸正方向為極軸建立極坐标系，則雙曲線的極坐标方程為。
焦半徑
連接焦點與雙曲線上任意一點所得的線段叫做雙曲線的焦半徑，一般用r1、r2來表示左焦半徑與右焦半徑。
焦半徑公式可由距離公式或圓錐曲線的第二定義推出。
頂點連線斜率
雙曲線上一點（不包括兩頂點）與兩頂點連線的斜率之積為定值。有的參考書上把這條性質看作雙曲線的第三定義，即平面内一點P(x, y)與兩定點的連線的斜率之積為定值（該定值>0）時，P的軌迹為雙曲線（但不包括兩定點）。
實際應用
雙曲線在實際中的應用有通風塔，冷卻塔，埃菲爾鐵塔，廣州塔等。
幾何性質
由于雙曲線在高考的小題中經常出現，并且經常結合漸近線出題，這裡列舉幾個常見的雙曲線幾何性質，尤其是關于漸近線的性質，便于小題中能快速使用這些性質來解題。
有關漸近線的性質
（1）設雙曲線的右準線和一條漸近線交于P，A是右支的端點，F是右焦點，那麼OP=OA，OP⊥PF。左邊同理。根據這個性質，過焦點作漸近線的垂線，垂足一定在準線上，并且Rt△OPF的三邊恰好為a、b、c。
證明：右準線的方程為，設它和漸近線交于，于是利用兩點之間的距離公式，OP=a=OA。
同時由斜率的定義得到，所以。連接PF，在△OPF中使用餘弦定理可得PF=b，∠OPF=90°。即Rt△OPF的三邊恰好為a、b、c。
（2）過雙曲線上任意一點P作某條漸近線的平行線，交準線于Q，則PQ=PF。
證明：以右焦點和右準線為例，過P作PM⊥準線于M，根據雙曲線的第二定義，
所以PF=PM*e
又根據已知條件，PQ與PM的夾角（或其補角）恰好為漸近線的傾斜角，于是，所以。
根據三角函數的定義，
（3）過雙曲線上一點P作x（y）軸的平行線，交漸近線于A、B，則PA*PB=a²（b²）。
證明：以作x軸的平行線為例。設P(x0,y0)，平行于x軸的直線為y=y0，交漸近線于。于是：
（4）過雙曲線上一點P作兩條漸近線的垂線PM、PN，則
證明：根據平面幾何知識可知∠MON和∠MPN互補，因此cos∠MPN=-cos∠MON
而根據雙曲線的對稱性，x軸平分∠MON，利用三角函數的萬能公式，
因此
又設P(x0,y0)，利用點到直線的距離公式，
所以
注意P點在雙曲線上，有，代入上式得到最終結果。
（5）設一條直線與雙曲線交于A、B兩點（可以同支或不同支），交兩條漸近線于C、D兩點，則AC=BD。特别地，若直線是雙曲線的切線，切點為P，那麼有PC=PD。
證明：利用平面幾何。
①當直線垂直于x軸時，根據對稱性立刻得到結論。
②當直線不垂直于x軸時，過A、B分别作x軸的垂線，兩條垂線交兩漸近線于M、N、R、S四點。
得到兩組相似三角形△ACM∽△BCR和△ADN∽△BDS
于是有
将兩個等式相乘，得
又根據性質3，AM*AN=BR*BS=b²，所以有AC*AD=BC*BD
AC*(AB+BD)=BD*(AB+AC)
化簡得AC=BD
當CD是切線時，AB重合為一點P，此時有PC=PD，即：雙曲線的一條切線交兩條漸近線于兩點，則切點到這兩點的距離相等。
（6）雙曲線的一條切線交漸近線于A、B兩點，則：
1.
2.OA*OB為定值。
上述定值均與切點位置無關。
證明：顯然，所有平行于x軸的直線都和雙曲線有兩個交點，因此它們都不會是切線，即雙曲線的切線必定與x軸不平行。
所以設切線方程為x=my+n，聯立雙曲線方程，消去x，得
切線和雙曲線隻有一個交點，判别式為0，因此
化簡得n²=a²-b²m²
從該式子可看出a²>b²m²（因為n一定不會是0，如果n=0則b²m²=a²，使得上述方程的二次項為0，于是得到矛盾方程a²b²=0），因此a±bm≠0。
聯立切線和兩條漸近線方程，可解得
設切線和x軸交于N(n,0)，則
為定值，與切點所處位置無關。
要計算OA*OB，直接套距離公式非常麻煩，可利用向量的方法。
因為，且所以
為定值，與切點所處位置無關。
（7）過雙曲線上任意一點P作兩漸近線的平行線，分别交于A、B兩點，則平行四邊形OAPB的面積為定值（與P的位置無關）。
設P(x0,y0)，那麼PA和PB的方程可寫為和，于是可以分别求出
利用平行四邊形的面積公式，
該性質也可以看作性質（5）（6）的推論，這是因為假設過P的切線交漸近線于M、N兩點，由性質（5）可知P是MN的中點。于是由三角形中位線定理，A、B分别是OM、ON中點。那麼S△OAP=1/2*S△OMP，S△OBP=1/2*S△ONP。因此S△OAP+S△OBP=1/2*(S△OMP+S△ONP)，即S平行四邊形OAPB=1/2*S△OMN。根據性質（6）可知S平行四邊形OAPB=1/2*ab是定值。
其他性質
因為圓錐曲線涉及切線問題的幾乎隻有焦點在y軸上的抛物線，雙曲線不會考，但作為補充仍給出下列性質。
（8）雙曲線上任意一點的切線方程為（注：利用隐函數的求導法則求出斜率後，根據點斜式寫出切線方程）
（9）設雙曲線在P點的切線與準線交點為Q，那麼∠PFQ=90°。焦點弦兩端的切線相交于準線上。
（10）設PF1和PF2是兩條焦半徑，那麼P點的切線平分∠F1PF2。反過來，若已知某直線平分焦半徑PF1與PF2的夾角，那麼該直線與雙曲線切于P。這個性質又被稱作雙曲線的光學性質，即從一個焦點發出的光線，經雙曲線反射後，反射光的反向延長線經過另一個焦點。
（11）若橢圓和雙曲線的焦點相同，在橢圓與雙曲線的交點處分别作橢圓與雙曲線的切線，那麼這兩條切線垂直。
蒙日圓問題
設雙曲線兩條互相垂直的切線交于P，則P的軌迹是一個圓（去掉與漸近線的4個交點）。
設交點P(x0,y0)，因為雙曲線的切線不可能與x軸平行，所以另一條切線不可能與y軸平行，即兩條切線都有斜率。
設切線方程為y=k(x-x0)+y0，聯立雙曲線，消去y得
因為直線和雙曲線相切，判别式為0，得
整理得
兩條切線互相垂直，斜率之積為-1，根據韋達定理，有
整理得
但是，注意到一開始聯立切線與雙曲線的方程中，二次項系數不能為0，即。把這個關系代入關于k的一元二次方程中，得到。因此，P的軌迹是去掉與漸近線的4個交點的圓
，這個圓叫做蒙日圓，又叫做外準圓。
注意：隻有當a>b時方程x²+y²=a²-b²才表示一個圓，此時雙曲線的離心率。
内準圓問題
上面介紹了外準圓（蒙日圓）的概念，現在來研究内準圓的概念。
設AB是雙曲線的一條弦（A和B可以在同支或不同支），弦對中心O的張角∠AOB=90°，則無論AB的位置如何，O到直線AB的距離都是一個常數。以該常數為半徑，中心O為圓心的圓叫做雙曲線的内準圓。
為了證明O到AB的距離是常數，先證明一個引理。
引理：若A、B在雙曲線上并且OA⊥OB，那麼是常數（與A、B位置無關）。
以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐标系，則根據極坐标與直角坐标的轉換關系，雙曲線上任意一點(ρ,θ)均滿足
由于OA⊥OB，不妨設A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+90°)，代入上述方程中，得
第二個等式是利用了三角函數的誘導公式cos(θ+90°)=-sinθ和sin(θ+90°)=cosθ。
又根據極坐标的定義，為定值。
有了引理之後，利用面積法可以證明O到AB的距離是定值。
設O到AB距離是d，根據三角形的面積公式，有。
兩邊平方，得
所以是定值。
内準圓的方程為
注意：同外準圓相反，擁有内準圓的條件是，所以雙曲線内外準圓隻能有其中一個。特别地，等軸雙曲線（又叫直角雙曲線，滿足a=b）既沒有内準圓也沒有外準圓。
這個性質可以簡單記憶如下：雙曲線内準圓的任意一條切線被雙曲線截得的弦，對中心O的張角為直角。
焦點三角形面積公式
設P為雙曲線上一點，F1、F2為兩個焦點，△PF1F2叫做焦點三角形。若∠F1PF2=θ，
則
推導：
不妨設|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c。由餘弦定理，
而根據雙曲線的定義，|m-n|=2a，兩邊平方，整理得m²+n²=2mn+(2a)²
代入餘弦定理的表達式：
所以得到
所以
此外，若設P(x0,y0)，則△PF1F2可以看做底是2c，高是|y0|的三角形，那麼
所以如果知道了點P的坐标或∠F1PF2的其中一個，那就可以求另一個。
若從幾何角度研究這個結論：
則由幾何性質（8）和（9）可知PZ是角平分線，且有∠PSZ=90°
而PM⊥MZ，即∠PMZ=90°，所以PMZS四點共圓
所以有∠XMS=∠SPZ=θ/2
而XS是焦準距，根據三角函數的定義，，即
重點
取值範圍
│x│≥a（焦點在x軸上）或者│y│≥a（焦點在y軸上）。
對稱性
關于坐标軸和原點對稱，其中關于原點成中心對稱。
頂點
A（-a，0），A'（a，0）。同時AA'叫做雙曲線的實軸且│AA'│=2a。
B（0，-b），B'（0，b）。同時BB'叫做雙曲線的虛軸且│BB'│=2b。
F1（-c，0）或（0，-c），F2（c，0）或（0，c）。F1為雙曲線的左焦點，F2為雙曲線的右焦點且│F1F2│=2c
對實軸、虛軸、焦點有：a2+b2=c2
漸近線
焦點在x軸：
焦點在y軸：
離心率
第一定義：e=c/a且e∈（1，+∞）
第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│與點P到定直線（相應準線）的距離d的比等于雙曲線的離心率e。
d點│PF│/d線（點P到定直線（相應準線）的距離）=e
焦半徑
（圓錐曲線上任意一點P（x，y）到焦點距離）
左焦半徑：r=│ex+a│
右焦半徑：r=│ex-a│
等軸雙曲線
一雙曲線的實軸與虛軸長相等即：2a=2b且e=√2
這時漸近線方程為：y=±x（無論焦點在x軸還是y軸）
共轭雙曲線
雙曲線S'的實軸是雙曲線S的虛軸且雙曲線S'的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S'與雙曲線S為共轭雙曲線。
幾何表達：S：（x2/a2）-（y2/b2）=1，S'：（y2/b2）-（x2/a2）=1
特點：
（1）共漸近線，與漸近線平行得線和雙曲線有且隻有一個交點；
（2）焦距相等；
（3）兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等于1。
準線
焦點在x軸上：x=±a2/c
焦點在y軸上：y=±a2/c
與反比例函數
X2/a2-Y2/b2=1（a>0，b>0）
而反比例函數的标準型是xy=c（c≠0）
但是反比例函數圖象确實是雙曲線軌迹經過旋轉得到的
因為xy=c的對稱軸是y=x，y=-x而X2/a2-Y2/b2=1的對稱軸是x軸，y軸
所以應該旋轉45°
設旋轉的角度為a（a≠0，順時針）
（a為雙曲線漸進線的傾斜角）
則有：
X=xcosa+ysina
Y=-xsina+ycosa
取a=π/4
則：
X2-Y2=（xcos（π/4）+ysin（π/4））2-（xsin（π/4）-ycos（π/4））2
=（√2/2x+√2/2y）2-（√2/2x-√2/2y）2
=4（√2/2x）（√2/2y）
=2xy
而xy=c
所以：
X2/（2c）-Y2/（2c）=1（c>0）
Y2/（-2c）-X2/（-2c）=1（c
由此證得，反比例函數其實就是雙曲線的一種形式，隻不過是雙曲線在平面直角坐标系内的另一種擺放形式。
雙曲線内、上、外
在雙曲線的兩側的區域稱為雙曲線内，則有x2/a2-y2/b2>1；
在雙曲線的線上稱為雙曲線上，則有x2/a2-y2/b2=1；在雙曲線所夾的區域稱為雙曲線外，則有x2/a2-y2/b2。
光學性質
從雙曲線一個焦點發出的光，經過雙曲線反射後，反射光線的反向延長線都彙聚到雙曲線的另一個焦點上。雙曲線這種反向虛聚焦性質，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用。
