定義
立方體,是由6個相同大小的正方形圍成的立體圖形,故又稱正六面體,英文拼寫是Cube。
立方體(Cube),是由6個正方形面組成的正多面體,故又稱正六面體(Hexahedron)、正方體或正立方體。它有12條棱(邊)和8個頂(點),是五個柏拉圖立體之一。
立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三角偏方面體、菱形多面體、平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性,即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符号{4,3},考克斯特-迪肯符号,與正八面體對偶。
立方體特征
面的圖形:正方形
面的數目:6
邊的數目:12
頂點數目:8
表面積:
體積:
二面角角度:
外接球半徑:
内接球半徑:
對偶多面體:正八面體
在所有表面積一定的長方體中,立方體的體積最大,同樣,在所有線性大小(長寬高之和)一定的長方體中,立方體的體積也是最大的。反過來,體積相等的長方體中,立方體擁有最小表面積和線性大小。
幾何性質
立方體有11種不同的展開圖,即是說,我們可以有11種不同的方法切開空心立方體的7條棱而将其展平為平面圖形,見圖1。
立方體的11種不同展開圖。
如果我們要将立方體塗色而使相鄰的面不帶有相同的顔色,則我們至少需要3種顔色(類似于四色問題)。
立方體是唯一能夠獨立密鋪三維歐幾裡得空間的柏拉圖正多面體,因此立方體堆砌也是四維唯一的正堆砌(三維空間中的堆砌拓撲上等價于四維多胞體)。它又是柏拉圖立體中唯一一個有偶數邊面——正方形面的,因此,它是柏拉圖立體中獨一無二的環帶多面體(它所有相對的面關于立方體中心中心對稱)。
将立方體沿對角線切開,能得到6個全等的正4棱柱(但它不是半正的,底面棱長與側棱長之比為2:√3)将其正方形面貼到原來的立方體上,能得到菱形十二面體(Rhombic Dodecahedron)(兩兩共面三角形合成一個菱形)。
聯系
将立方體的其中四個頂點相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的,其體積為立方體體積的。
立方體的對偶多面體是正八面體。
當正八面體在立方體之内:
正八面體體積:立方體體積=[(1/3)×高×底面積]×2:邊=(1/3)(n/2)[(n)/2]2:n=1:6
星形八面體的對角線可組成一個立方體。
截半立方體:從一條棱斬去另一條棱的中點得出
截角立方體
超正方體:立方體在高維度的推廣。更加一般的,立方體是一個大家族,即立方形家族(又稱超方形、正測形)的3維成員,它們都具有相似的性質(如二面角都是90°、有類似的超體積公式,即Vn-cube=a等)。
長方體、偏方面體的特例。
應用
日常生活
食鹽和糖的結晶體都是立方狀;
骰子最常見的形狀就是立方體;
1967年世界博覽會的「立方體房間」。
遊戲
索馬立方;
扭計骰;
扭扭骰;
Slothouber-Graatsma立方:以6個1×2×2及3個單位立方組成3×3×3的立方(僅有一個解法);
康威立方:以3個1×1×3,13個1×2×4,及1×2×2和2×2×2的長方體各一個,組成一個5×5×5的立方(572個解)。
視錯覺
奈克方塊;
不可能方塊。
數學問題
體積與表面積
- 體積=長×寬×高=邊表面積=每個面面積×6=邊×6
倍立方體問題
參見尺規作圖,已經證明此題無法用無刻度的直尺與圓規去畫出的位置
最大的橫切面
立方體的橫切面隻有四種:
- 三角形矩形五邊形六邊形
其中以正六邊形的面積最大,若立方體的棱長為a,則正六邊形的面積為。