基本思想
假設檢驗的基本思想是“小概率事件”原理,其統計推斷方法是帶有某種概率性質的反證法。小概率思想是指小概率事件在一次試驗中基本上不會發生。反證法思想是先提出檢驗假設,再用适當的統計方法,利用小概率原理,确定假設是否成立。即為了檢驗一個假設H0是否正确,首先假定該假設H0正确,然後根據樣本對假設H0做出接受或拒絕的決策。如果樣本觀察值導緻了“小概率事件”發生,就應拒絕假設H0,否則應接受假設H0。
假設檢驗中所謂“小概率事件”,并非邏輯中的絕對矛盾,而是基于人們在實踐中廣泛采用的原則,即小概率事件在一次試驗中是幾乎不發生的,但概率小到什麼程度才能算作“小概率事件”,顯然,“小概率事件”的概率越小,否定原假設H0就越有說服力,常記這個概率值為α(0<α<1),稱為檢驗的顯著性水平。對于不同的問題,檢驗的顯著性水平α不一定相同,一般認為,事件發生的概率小于0.1、0.05或0.01等,即“小概率事件”。
基本步驟
1、提出檢驗假設又稱無效假設,符号是H0;備擇假設的符号是H1。
H0:樣本與總體或樣本與樣本間的差異是由抽樣誤差引起的 ;
H1:樣本與總體或樣本與樣本間存在本質差異 ;
預先設定的檢驗水準為0.05;當檢驗假設為真,但被錯誤地拒絕的概率,記作α,通常取α=0.05或α=0.01 。
2、選定統計方法,由樣本觀察值按相應的公式計算出統計量的大小,如X2值、t值等。根據資料的類型和特點,可分别選用Z檢驗,T檢驗,秩和檢驗和卡方檢驗等。
3、根據統計量的大小及其分布确定檢驗假設成立的可能性P的大小并判斷結果。若P>α,結論為按α所取水準不顯著,不拒絕H0,即認為差别很可能是由于抽樣誤差造成的,在統計上不成立;如果P≤α,結論為按所取α水準顯著,拒絕H0,接受H1,則認為此差别不大可能僅由抽樣誤差所緻,很可能是實驗因素不同造成的,故在統計上成立。P值的大小一般可通過查閱相應的界值表得到。
4、注意問題
1、作假設檢驗之前,應注意資料本身是否有可比性。
2、當差别有統計學意義時應注意這樣的差别在實際應用中有無意義。
3、根據資料類型和特點選用正确的假設檢驗方法 。
4、根據專業及經驗确定是選用單側檢驗還是雙側檢驗。
5、判斷結論時不能絕對化,應注意無論接受或拒絕檢驗假設,都有判斷錯誤的可能性。
檢驗方法
u檢驗和t檢驗
t檢驗是英國統計學家Cosset在1908年以筆名“" student”發表的,因此亦稱 student t檢驗( Student' s t test)。t檢驗是用t分布理論來推斷差異發生的概率,從而判定兩總體均數的差異是否有統計學意義,主要用于樣本含量較小(如n<60),總體标準差σ未知,呈正态分布的計量資料。若樣本含量較大(如n>60),或樣本含量雖小,但總體标準差σ已知,則可采用u檢驗(亦稱:z檢驗)。但在統計軟件中,無論樣本量大小,均采用t檢驗進行統計分析。
t檢驗和u檢驗的适用條件:①樣本來自正态總體或近似正态總體;②兩樣本總體方差相等,即具有方差齊性。在實際應用時,如與上述條件略有偏離,對結果亦不會有太大影響;③兩組樣本應相互獨立。根據比較對象的不同,t檢驗又分為單樣本t檢驗、配對t檢驗和兩獨立樣本t檢驗。
F檢驗
采用F檢驗檢驗方差齊性,要求樣本均來自正态分布的總體。檢驗統計量F等于兩樣本的較大方差 比較小方差 ,其檢驗統計量公式為:
數理統計理論證明:當H0( )成立時,服從F分布。F分布曲線的形狀由兩個參數和決定,F的取值範圍為0~∞ 。
統計學家為應用的方便編制了的F分布臨界值表,求得F值後,查F界值表得P值(F值愈大,P值愈小),然後按所取的α水準做出推斷結論。
由于第一個樣本的方差既可能大于第二個樣本的方差,也可能小于第二個樣本的方差,故兩樣本方差比較的F檢驗是雙側檢驗。
兩類錯誤
假設檢驗的基本思想是利用“小概率事件”原理做出統計判斷的,而“小概率事件”是否發生與一次抽樣所得的樣本及所選擇的顯著性水平α有關,由于樣本的随機性及選擇顯著性水平α的不同,因此檢驗結果與真實情況也可能不吻合,從而假設檢驗是可能犯錯誤的。
一般地,假設檢驗可能犯的錯誤有如下兩類:
①當假設H0正确時,小概率事件也有可能發生,此時我們會拒絕假設H0。因而犯了“棄真”的錯誤,稱此為第一類錯誤,犯第一類錯誤的概率恰好就是“小概率事件”發生的概率α,即
P{拒絕H0/H0為真}=α
②當假設H0不正确,但一次抽樣檢驗未發生不合理結果時,這時我們會接受H0,因而犯了“取僞”的錯誤,稱此為第二類錯誤,記β為犯第二類錯誤的概率,即
P{接受H0/H0不真}=β
理論上,自然希望犯這兩類錯誤的概率都很小。當樣本容量n固定時,α、β不能同時都小,即α變小時,β就變大;而β變小時,α就變大。一般隻有當樣本容量n增大時,才有可能使兩者變小。在實際應用中,一般原則是:控制犯第一類錯誤的概率,即給定α,然後通過增大樣本容量n來減小B。這種着重對第一類錯誤的概率α加以控制的假設檢驗稱為顯著性檢驗。
應用
在雷達檢測中,目标是産生假設的源,它可使用兩個假設:H1和H0,分别表示目标存在(H1)和不存在(H0)。這是二元簡單假設檢驗。二元數字通信問題也是簡單假設檢驗。如果假設中含有目标未知參量,則是複合假設檢驗。m元通信問題也是複合假設檢驗。如果未知參量是随機變化的,則是随機參量信号的假設檢驗。
通信系統和雷達系統常用的最佳準則,是最小錯誤概率準則,即最大後驗概率準則。以雷達檢測為例:目标是源,它可使用的兩個假設是H1和H0。接收端收到樣本X(雷達回波)後,判定H1為真(目标存在),或判定H0為真(目标不存在概率可分别表示為p(H1/x)和p(H0/x),稱為後驗概率。最大後驗概率準則的判決規則是,若
則判定H1為真(選擇H1);否則判定H0為真。