驗證方式
若因變量u1,u2,…,un對自變量x1,x2,…,xn連續可微，而自變量x1,x2,…,xn對新變量r1,r2,…,rn連續可微,則因變量(u1,u2,…,un)也對新變量(r1,r2,…,rn)連續可微，并且
這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。而公式(3)也類似于導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類似的公式；例如，當(u，v)對(x，y，z)連續可微，而(x，y，z)對(r，s)連續可微時，便有
如果(3)中的r能回到u,，則
(3)
給出 。
這時必須有
(4)
于是以此為系數行列式的聯立線性方程組 (2)中能夠把(dx1,dx2,…,dxn)解出來，作為(du1,du2,…,dun)的函數。而根據隐函數存在定理,在(u1,u2,…,un)對(x1,x2,…,xn)連續可微的前提下,隻須條件(4)便足以保證(x1,x2,…,xn)也對(u1,u2,…,un)連續可微,因而(4)必然成立。這樣,連續可微函數組(1)便在雅可比行列式不等于零的條件(4)之下,在每一對相應點u=(u1,u2,…,un)與x =(x1,x2,…,xn)的鄰近範圍内建立起點與點之間的一個一對一的對應關系。
在n=2的情形，以Δx1，Δx2為鄰邊的矩形(ΔR)對應到(u1，u2)平面上的一個曲邊四邊形(ΔS),其面積ΔS關于Δx1,Δx2的線性主要部分，即面積微分是
這常用于重積分的計算中。
如果在一個連通區域内雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負（其正負号标志着u-坐标系的旋轉定向是否與x-坐标系的一緻）。如果雅可比行列式恒等于零,則函數組(u1,u2,…,un)是函數相關的,其中至少有一個函數是其餘函數的一個連續可微的函數。
