誤差:測量值與真值差異-中文百科頻道

概述

【基本解釋】：

一個量的觀測值或計算值與其真實值之差;特指統計誤差，即一個量在測量、計算或觀察過程中由于某些錯誤或通常由于某些不可控制的因素的影響而造成的變化偏離标準值或規定值的數量，誤差是不可避免的。

【詳細解釋】：

1.猶差錯。漢荀悅《漢紀·文帝紀下》：“上功莫府，差六級，文吏以法繩之，陛下下之吏，削其爵，罰作之。”唐趙璘《因話錄·徵》：“談話之誤差尚可，若著于文字，其誤甚矣。”

2.數學上稱測定的數值或其他近似值與真值的差為誤差。

準确度與誤差

真值是試樣中待測組分客觀存在的真實含量。準确度是分析結果與真值的相符程度。準确度通常用誤差來表示，誤差越小，表示分析結果的準确度越高。

誤差可以用絕對誤差和相對誤差來表示。絕對誤差是分析結果與真值之差，表示為

Ea=x-T

x代表單次測定值。由于測定次數往往不止一次，因此通常用數次平行測定結果的算術平均值來表示分析結果。此時：

Ea=x平均值-T

相對誤差是絕對誤差和真值的百分比率：

Er=Ea/TX100%

當測定值大于真值是時，誤差為正，表明測定結果偏高；反之，誤差為負，表明測定值偏低。在測定的絕對誤差相同的條件下，待測組分含量越高，相對誤差越小；反之，相對誤差越大。因此，在實際工作中，常用相對誤差表示測定結果的準确度

有時也采用中位數來表示分析結果。中位數即一組測定數據從小至大進行排列時，處于中間的那個數據或中間相鄰兩個數據的平均值。用中位數表示分析結果比較簡單，但存在不能充分利用數據的缺點。

由于誤差不可避免地存在于測定中，所以任何真值都難以得知。在實際工作中，通常将純物質中元素的理論含量等理論真值，國際計量大會上确定的長度、質量和物質的量單位等計量數約定真值，或公認的權威機構發售的标準參考物質（也成為标準試樣）給出的參考值等當作真值來使用。

例題：用沉澱滴定法測定純Nacl中氯的質量分數為60.56%、60.46%、60.70%、60.65%、60.90%。試計算測定結果的絕對誤差和相對誤差。

解：純Nacl中氯的質量分數的理論值（真值）為T：

T=Mcl/M(Nacl)X100%=35.45/58.44X100%=60.66%

平均值：x=(60.56%+60.46%+60.70+60.56+60.69%)/5=60.61%

絕對誤差：Ea=x-T=60.61%-60.66%=-0.05%

相對誤差：Er=Ea/TX100%=(-0.05%)/60.66%=-0.09%

釋義

誤差，物理實驗離不開對物理量的測量，測量有直接誤差的，也有間接的。由于儀器、實驗條件、環境等因素的限制，測量不可能無限精确，物理量的測量值與客觀存在的真實值之間總會存在着一定的差異，這種差異就是測量誤差。誤差不可避免，但若用更精确的儀器或更好的方法，是可以減小誤差的。

設被測量的真值（真正的大小）為a，測得值為x，誤差為ε，則：

x－a=ε

誤差與錯誤不同，錯誤是應該而且可以避免的，而誤差是不可能絕對避免的。從實驗的原理，實驗所用的儀器及儀器的調整，到對物理量的每次測量，都不可避免地存在誤差，并貫穿于整個實驗始終。

測量值與真值之差異稱為誤差。

測量時，由于各種因素會造成少許的誤差，這些因素必須去了解，并有效的解決，方可使整個測量過程中誤差減至最少。測量時，造成誤差的主要有系統誤差和随機誤差，而系統誤差有下列情況：視差、刻度誤差、磨耗誤差、接觸力誤差、撓曲誤差、餘弦誤差、阿貝(Abbe)誤差、熱變形誤差等。系統誤差的大小在測量過程中是不變的，可以用計算或實驗方法求得，即是可以預測，并且可以修正或調整使其減少。這些因素歸納成五大類，詳細内容叙述如下：

産生

根據誤差産生的原因及性質可分為系統誤差與偶然誤差兩類。

系統誤差

由于儀器結構上不夠完善或儀器未經很好校準等原因會産生誤差。例如，各種刻度尺的熱脹冷縮，溫度計、表盤的刻度不準确等都會造成誤差。

由于實驗本身所依據的理論、公式的近似性，或者對實驗條件、測量方法的考慮不周也會造成誤差。例如，熱學實驗中常常沒有考慮散熱的影響，用伏安法測電阻時沒有考慮電表内阻的影響等。

由于測量者的生理特點，例如反應速度，分辨能力，甚至固有習慣等也會在測量中造成誤差。

以上都是造成系統誤差的原因。系統誤差的特點是測量結果向一個方向偏離，其數值按一定規律變化。我們應根據具體的實驗條件，系統誤差的特點，找出産生系統誤差的主要原因，采取适當措施降低它的影響。

偶然誤差

在相同條件下，對同一物理量進行多次測量，由于各種偶然因素，會出現測量值時而偏大，時而偏小的誤差現象，這種類型的誤差叫做偶然誤差。

産生偶然誤差的原因很多，例如讀數時，視線的位置不正确，測量點的位置不準确，實驗儀器由于環境溫度、濕度、電源電壓不穩定、振動等因素的影響而産生微小變化，等等，這些因素的影響一般是微小的，而且難以确定某個因素産生的具體影響的大小，因此偶然誤差難以找出原因加以排除。

但是實驗表明，大量次數的測量所得到的一系列數據的偶然誤差都服從一定的統計規律，這些規律有：

（1）絕對值相等的正的與負的誤差出現機會相同

（2）絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多

（3）誤差不會超出一定的範圍。

實驗結果還表明，在确定的測量條件下，對同一物理量進行多次測量，并且用它的算術平均值作為該物理量的測量結果，能夠比較好地減少偶然誤差。

表示

絕對誤差

設某物理量的測量值為x,它的真值為a,則x－a=ε；由此式所表示的誤差ε和測量值x具有相同的單位，它反映測量值偏離真值的大小，所以稱為絕對誤差。（即測量值與真實值之差的絕對值）

絕對誤差可定義為

△=X—L

式中：△—絕對誤差X—測量值L—真實值

注：絕對誤差是有正負，有方向的

相對誤差

誤差還有一種表示方法，叫相對誤差，它是絕對誤差與測量值或多次測量的平均值的比值，即或，并且通常将其結果表演示成非分數的形式，所以也叫百分誤差。

絕對誤差可以表示一個測量結果的可靠程度，而相對誤差則可以比較不同測量結果的可靠性。例如，測量兩條線段的長度，第一條線段用最小刻度為毫米的刻度尺測量時讀數為10．3毫米，絕對誤差為0．1毫米（值讀得比較準确時），相對誤差為0.97%，而用準确度為0．02毫米的遊标卡尺測得的結果為10．28毫米，絕對誤差為0．02毫米，相對誤差為0．19%；第二條線用上述測量工具分别測出的結果為19．6毫米和19．64毫米，前者的絕對誤差仍為0．1毫米，相對誤差為0．51%，後者的絕對誤差為0．02毫米，相對誤差為0．1%。比較這兩條線的測量結果，可以看到，用相同的測量工具測量時，絕對誤差沒有變化，用不同的測量工具測量時，相對誤差明顯不同，準确度高的工具所得到的相對誤差小。然而相對誤差則不僅與所用測量工具有關，而且也與被測量的大小有關，當用同一種工具測量時，被測量的數值越大，測量結果的相對誤差就越小。

引用誤差

儀表某一刻度點讀數的絕對誤差Δ比上儀表量程上限Am，并用百分數表示。

最大引用誤差：儀表在整個量程範圍内的最大示值的絕對誤差Δm比儀表量程上限Am，并用百分數表示。

标稱誤差

标稱誤差=（最大的絕對誤差）/量程x100%

—測量儀器的〔示值〕誤差

1.測量儀器的示值誤差

是指“測量儀器示值與對應輸入量的真值之差”(7.20條)。這是測量儀器的最主要的計量特性之一，其實質就是反映了測量儀器準确度的大小。示值誤差大則其準确度低，示值誤差小，則其準确度高。

示值誤差是對真值而言的。由于真值是不能确定的，實際上使用的是約定真值或實際值。為确定測量儀器的示值誤差，當其接受高等級的測量标準器檢定或校準時，則标準器複現的量值即為約定真值，通常稱為實際值，即滿足規定準确度的用來代替真值使用的量值。所以指示式測量儀器的示值誤差=示值-實際值；實物量具的示值誤差=标稱值-實際值。例如：被檢電流表的示值I為40A，用标準電流表檢定，其電流實際值為Io=41A，則示值40A的誤差Δ為

Δ=I-Io=40-41=-1A

則該電流表的示值比其真值小1A。如一工作玻璃量器的容量其标稱值V為1000ml，經标準玻璃量器檢定，其容量實際值Vo為1005ml，則量器的示值誤差Δ為：

Δ=V-Vo=1000-1005=-5ml

即該工作量器的标稱值比其真值小5ml。

要正确區别誤差、偏差和修正值的概念。偏差是指“一個值減去其參考值”(5.17條)，對于實物量具而言，偏差就是實物量具的實際值對于标稱值偏離的程度，即偏差=實際值-标稱值。例如有一塊量塊，其标稱值為10mm，經檢定其實際值為10.1mm，則該量塊的偏差為10.1-10=+0.1mm，說明此量塊相對10mm标準尺寸大了0.1mm；則此量塊的誤差為示值(标稱值)-實際值，即誤差=10-10.1=-0.1mm，說明此量塊比真值小了0.1mm，故此在使用時應加上0.1mm修正值。修正值是指為清除或減少系統誤差，用代數法加到未修正測量結果上的值。從上可見這三個概念其量值的關系：誤差=-偏差；誤差=-修正值；修正值=偏差。在日常計算和使用時要注意誤差和偏差的區别，不要相混淆。

測量儀器的示值誤差可簡稱為測量儀器的誤差，按照不同的示值、性質或條件，測量儀器的誤差又具有專門的術語。如基值誤差、零值誤差、固有誤差、偏移等。

基值誤差

它是指“為核查儀器而選用在規定的示值或規定的被測量值處的測量儀器誤差”(7.22條)。為了檢定或校準測量儀器，人們通常選取某些規定的示值或規定的被測量值，則在該值上測量儀器的誤差稱為基值誤差。

例如:選用規定的示值，如對普通準确度等級的衡器，載荷點50e和200e是必檢的(e是衡器的檢定分度值)，它們在首次檢定時基值誤差分别不得超過±0.5e和±1.0e。如對于中準确度等級的衡器，載荷點500e和2000e是必須檢的，它們在首次時的基值誤差分别不得超過±0.5e和±1.0e。規定被測量值，如對于标準熱電偶的檢定或分度，通常選用鋅、銻及銅三個溫度固定點進行示值檢定或分度，則在此三個值上标準熱電偶的誤差，即為基值誤差。測量儀器的基值誤差可簡稱為基值誤差。

零值誤差

它是指“被測量為零值的基值誤差”(7.23條)。是指被測量為零值時，測量儀器示值相對于标尺零刻線之差值。也可說是測量儀器零位，即當被測量值為零時，測量儀器的直接示值與标尺零刻線之差。通常在測量儀器通電情況下，稱為電氣零位，在不通電的情況下稱為機械零位。零位在測量儀器檢定或校準或使用時十分重要，因為它無需用标準器就能準确地确定其零位值，如各種指示儀表和千分尺、度盤秤等都具有零位調節器，可以作為檢定或校準或用作使用者調整，以便确保測量儀器的準确度。

通常測量儀器零值誤差均作為基值誤差對待，因為零值對考核測量儀器的穩定性、準确度作用十分重要。測量儀器的零值誤差可簡稱為零值誤差。

固有誤差

它是指“在參考條件下确定的測量儀器的誤差”(7.24條)。固有誤差通常也可稱為基本誤差，它是指測量儀器在參考條件下所确定的測量儀器本身所具有的誤差。主要來源于測量儀器自身的缺陷，如儀器的結構、原理、使用、安裝、測量方法及其測量标準傳遞等造成的誤差。固有誤差的大小直接反映了該測量儀器的準确度。一般固有誤差都是對示值誤差而言，因此固有誤差是測量儀器劃分準确度的重要依據。測量儀器的最大允許誤差就是測量儀器在參考條件下，反映測量儀器自身存在的所允許的固有誤差極限值。

提出固有誤差這一術語是相對于附加誤差而言的。附加誤差就是測量儀器在非标準條件下所增加的誤差。額定操作條件、極限條件等都屬于非标準條件。非标準(即參考)條件下工作的測量儀器的誤差，必然會比參考條件下的固有誤差要大一些，這個增加的部分就是附加誤差。它主要是由于影響量超出參考條件規定的範圍，對測量儀器帶來影響的所增加的誤差，即屬于外界因素所造成的誤差。因此測量儀器使用時與檢定、校準時因環境條件不同而引起的誤差，就是附加誤差；測量儀器在靜态條件下檢定、校準，而在實際動态條件下使用，則也會帶來附加誤差。測量儀器的固有誤差又可簡稱為固有誤差。

抗偏移性

測量儀器的偏移是指“測量儀器示值的系統誤差”(7.25條)。人們在用測量儀器測量時，總希望得到真實的被測量值，但實際上多次測量同一個被測量時，得到的是不同的示值。由于測量儀器存在着誤差，而形成測量儀器示值的系統誤差分量，我們稱之為測量儀器的偏移，又簡稱偏移。造成測量儀器的偏移原因是很多的，如儀器設計原理上的缺點，标尺、度盤安裝不正确，使用時受到測量環境變化的影響，測量或安裝方法的不完善，測量人員的因素以及測量标準器的傳遞誤差等。測量儀器示值的系統誤差，按其誤差出現的規律，可分為定值系統誤差和變值系統誤差。有的系統誤差分量是按線性變化、周期性變化或複雜規律變化的，為了确定測量儀器的偏移，通常用适當次數重複測量的示值誤差的平均值來估計，這樣可以排除測量儀器示值其随機誤差的分量。由于存在着示值變值系統誤差，因此，在确定測量儀器偏移時，應考慮不同的測量點即示值的不同範圍。測量儀器的偏移，直接影響着測量儀器的準确度，因為在大多數情況下，測量儀器的示值誤差主要決定于系統誤差，有時系統誤差比随機誤差往往會大一個數量級，為什麼測量儀器要定期進行檢定、校準，主要就是為了确定測量儀器示值誤差的大小，并給以修正值進行修正，這就控制了測量儀器的偏移，确保了測量儀器的準确度。

測量儀器的抗偏移性是指“測量儀器給出不含系統誤差的示值的能力”(7.26條)。測量儀器示值的系統誤差是客觀存在的，由于它直接影響着測量儀器的準确度，因此我們應盡力設法減小它，則測量儀器給出的示值不含系統誤差的能力我們稱之為測量儀器的抗偏移性，可簡稱抗偏移性。

不含系統誤差是做不到的，但可以去減小它。實際上在測量儀器設計時必須考慮這一點，同時在測量儀器使用時也應考慮如何提高其抗偏移性。如從結構上保證指示器活動部分的平衡，可任意位置安裝使用的儀器保證其内部零部件平衡配重，減少元器件随外界溫度的影響等。有的儀器從測量方法上提高其抗偏移性，如千分尺、指示儀器的零位調整，要求儀器水平位置安放，甚至有的儀器帶有水準泡，要求正确地安放被測件，有的選擇适當的測量方法，使系統誤差相互抵消，如采用交換法、替代法、補償法、對稱法等。當然還有一項十分重要的方法，就是讓測量儀器定期開展檢定、校準，确定測量儀器示值系統誤差的大小，用修正值加以修正，這是提高抗偏移性的重要措施。

為了在測量前就将示值的系統誤差産生的根源予以消除或減小，使用測量儀器的人員應對測量儀器中可能産生系統誤差的環節進行仔細分析，并采取相應措施是十分重要的。

使用

測量儀器的最大允許誤差是指“對給定的測量儀器，規範、規程等所允許的誤差極限值”(7.21條)。這是指在規定的參考條件下，測量儀器在技術标準、計量檢定規程等技術規範上所規定的允許誤差的極限值。這裡規定的是誤差極限值，所以實際上就是測量儀器各計量性能所要求的最大允許誤差值。可簡稱為最大允許誤差，也可稱為測量儀器的允許誤差限。最大允許誤差可用絕對誤差、相對誤差或引用誤差等來表述。

例如：測量範圍為0～25mm，分度值為0.01mm的千分尺其示值的最大允許誤差0級不得超過±2mm；1級不得超過±4mm。又如測量範圍為25℃～50℃的分度值為0.05℃的一等标準水銀溫度計，其示值的最大允許誤差為±0.10℃。如準确度等級為1.0級的配熱電阻測溫用動圈式測量儀表，其測量範圍為0～500℃，則其示值的最大允許誤差為500×1%=±5℃，則用引用誤差表述。如非連續累計自動衡器(料鬥秤)在物料試驗中，對自動稱量誤差的評定則以累計載荷質量的百分比相對誤差進行計算，準确度為0.2級、0.5級的則首次檢定其自動稱量誤差不得超過累計載荷質量的±0.10%和±0.25%。最大允許誤差是評定測量儀器是否合格的最主要指标之一，當然它也直接反映了測量儀器的準确度。要區别和理解測量儀器的示值誤差、測量儀器的最大允許誤差和測量不确定度之間的關系。示值誤差和最大允許誤差均是對測量儀器本身而言，最大允許誤差是指技術規範(如标準、檢定規程)所規定的允許的誤差極限值，是判定是否合格的一個規定要求，而示值誤差是測量儀器某一示值其誤差的實際大小，是通過檢定、校準所得到的一個值，可以評價是否滿足最大允許誤差的要求，從而判斷該測量儀器是否合格，或根據實際需要提供修正值，以提高測量儀器的準确度。測量不确定度是表征測量結果分散性的一個參數，它隻能表述一個區間或一個範圍，說明被測量真值以一定概率落于其中，它對測量結果而言，以判定測量結果的可靠性。可見最大允許誤差、示值誤差和測量不确定度它們具有不同的概念，前者相對測量儀器而言，後者相對測量結果而言，前者相對與真值(約定真值)之差，後者隻是一個區間範圍，前者可以對測量儀器的示值進行修正，後者無法對測量儀器進行修正。個人認為，可見測量不确定度概念不能完全代替測量儀器的誤差，因為它無法得到修正值，作為測量儀器的特性，規定最大允許誤差和通過檢定、校準去确定示值誤差，在實用上具有十分現實的意義。

〔測量儀器的〕引用誤差

測量儀器的引用誤差可簡稱為引用誤差，它是指“測量儀器的誤差除以儀器的特定值”(7.28條)。通常很多測量儀器是用引用誤差來表示該測量儀器的允許誤差限。特定值一般稱為應用值，它可以是測量儀器的量程也可以是标稱範圍的上限或測量範圍等。測量儀器的引用誤差就是測量儀器的相對誤差與其應用值之比。

真值

實際上，真值是難于得到的，實際中，人們通常用兩種方法來近似确定真值，并稱之為約定真值。

一種方法是采用相應的高一級精度的計量器具所複現的被測量值來代表真值，

另一種方法是在相同條件下多次重複測量的算術平均值來代表真值。

另外在産品檢測中，某項被測量的設計指标，既标稱值視作已知真值，而測量值與标稱值之差，就是産品制作誤差（注意：這裡的測量值與其算術平均值之差才是測量誤差）。

理論值作為真值，如三角形内角和為180°

其他誤差

在數值計算中，為解決求方程近似值的問題，通常對實際問題中遇到的誤差進行下列幾類的區分：

模型誤差在建立數學模型過程中，要将複雜的現象抽象歸結為數學模型，往往要忽略一些次要因素的影響，對問題作一些簡化。因此數學模型和實際問題有一定的誤差，這種誤差稱為模型誤差。

測量誤差

在建模和具體運算過程中所用的數據往往是通過觀察和測量得到的，由于精度的限制，這些數據一般是近似的，即有誤差，這種誤差稱為測量誤差。

截斷誤差

由于實際運算隻能完成有限項或有限步運算，因此要将有些需用極限或無窮過程進行的運算有限化，對無窮過程進行截斷，這樣産生的誤差成為截斷誤差。

舍入誤差

在數值計算過程中，由于計算工具的限制，我們往往對一些數進行四舍五入，隻保留前幾位數作為該數的近似值，這種由舍入産生的誤差成為舍入誤差。

抽樣誤差

（一）抽樣誤差的概念

抽樣誤差：是指樣本指标和總體指标之間數量上的差别，例如抽樣平均數與總體平均數之差、抽樣成數與總體成數之差（p-P）等。

抽樣調查中的誤差有兩個來源。

1.登記性誤差，即在調查過程中，由于主客觀原因而引起的誤差。

2.代表性誤差，即樣本各單位的結構情況不足以代表總體特征而引起的誤差。

代表性誤差的發生有兩種情況：

第一，非随機的代表性誤差。

第二，随機性誤差。

（二）抽樣平均誤差

抽樣平均誤差：是抽樣平均數（或抽樣成數）的标準差，它反映抽樣平均數（或抽樣成數）與總體平均數（或總體成數）的平均差異程度。由于從一個總體可能抽取之個樣本，因此抽樣指标（如平均數、抽樣成數等），就有多個不同的數值，因而對全及指标（如總體平均數、總體成數等）的離差也就有大有小，這就必需用一個指标來衡量抽樣誤差的一般水平。

抽樣平均數的平均數等于總體平均數，抽樣成數的平均數等于總體總數，因而抽樣平均數（或抽樣成數）的标準差實際上反映了抽樣平均數（或抽樣成數）與總體平均數（或總體成數）的平均差異程度。

（三）抽樣極限誤差

抽樣極限誤差：抽樣估計時，應根據研究對象的差異程度和分析任務的需要來确定可允許的誤差範圍，這種允許的誤差範圍稱為抽樣極限誤差。它小于或等于樣本指标與總體指标之差的絕對值。

（四）影響抽樣誤差大小的因素

1．總體各單位标志值的差異程度。

2．抽樣單位數的多少。

3．抽樣方法。

4．抽樣調查的組織形式。

兩者的計算結果完全相同。由此可見，在不重置抽樣的條件下，抽樣平均數仍然等于總體平均數，而它的抽樣平均誤差72.57元比重置抽樣平均誤差102.63元小。

2.抽樣成數的平均誤差。

抽樣成數的平均誤差表明樣本成數和總體成數的絕對離差的平均水平。根據抽樣平均數和總體平均數的關系，可是E（p）=P，即抽樣成數的平均數等于總體成數。根據抽樣平均誤差和總體标準差的關系，可較容易推出抽樣成數的平均誤差。

（1）在重置抽樣的情況下。抽樣成數的平均誤差：