确定圆方程的条件
圆的标准方程中(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中,有三个参数a、b、r,只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,须三个独立条件,其中圆心坐标是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。
确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r,或直接求出圆心(a,b)和半径r,一般步骤为:
根据题意,设所求的圆的标准方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;
根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组;
解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程。
圆的标准方程-方程的推导
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
在平面直角坐标系中,设有圆O,圆心O(a,b)点P(x,y)是圆上任意一点。
因为圆是所有到圆心的距离等于半径的点的集合。
所以√[(x-a)^2+(y-b)^2]=r
两边平方,得到
即(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
圆的标准方程-圆的一般式方程
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
此方程可用于解决两圆的位置关系
配方化为标准方程:(x+D/2)^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4
其圆心坐标:(-D/2,-E/2)
半径为r=√[(D^2+E^2-4F)]/2
此方程满足为圆的方程的条件是:
D^2+E^2-4F>0
若不满足,则不可表示为圆的方程
已知直径的两个端点坐标A(m,n)B(p,q)设圆上任意一点C(x,
Y)。则有:向量AC*BC=0可推出方程:(X-m)*(X-p)+(Y-n)*(Y-q)=0 再整理即可得出一般方程。
圆的标准方程-点与圆的位置关系
点P(X1,Y1)与圆(x-a)^2+(y-b) ^2=r^2的位置关系:
⑴当(x1-a)^2+(y1-b)^2>r^2时,则点P在圆外。
⑵当(x1-a)^2+(y1-b)^2=r^2时,则点P在圆上。
⑶当(x1-a)^2+(y1-b)^2
圆知识点总结
定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
(2)平面上一条线段,绕它的一端旋转一周,留下的轨迹叫圆。
圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心
(2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。
(3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。
(4)垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
注:圆心一般用字母O表示
直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。
半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中:直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。
圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数(无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2,用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对的弦心距也相等。
判断步骤
①计算两圆的半径,r1,r2;
②计算两圆的圆心距d;
③根据d与r1,r2之间的关系,判断两圆的位置关系.
判断公式
若两圆的方程分别为C1:(x-x1)^2+(y-y1)^2=r1^2,C2:(x-x2)^2+(y-y2)^2=r2^2:
则两圆外离r1+r2
两圆外切r1+r2=d;
两圆相交|r1-r2|
两圆内切|r1-r2|=d;
两圆内含|r1-r2|>d.