基本概念
直线系(system of straight lines)亦称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合。如在平面仿射坐标系中，与已知直线Ax+By+C=0平行的所有直线组成一个直线系，它的方程为Ax+By+λ=0，式中λ是参数。又如，通过一个定点(x0，y0)的所有直线也是一个直线系，称为以(x0，y0)为束心的直线束，它的方程为λ1(x-x0)+λ2(y-y0)=0，式中λ1，λ2是不同时为零的参数。如果只用一个参数来表示，直线束的方程为y-y0=k(x-x0)，式中k为参数，但此直线束不包含直线x=x0。一般地，对于给定的两直l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，含有参数λ1，λ2(不同时为零)的方程λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0表示由l1和l2决定的直线束，并且：1.当l1与l2相交时，是以l1与l2的交点为中心的直线束，称为中心直线束；2.当l1与l2平行(但不重合)时，该直线束称为平行直线束，且当参数λ1，λ2取值为同号或异号时，所对应的直线位于直线l1与l2之间或之外。
基本例题
例1
求与直线3x＋4y－7=0垂直，且在x轴上的截距为(-2)的直线。
解法一：利用“垂直”写出直线系方程，再用“在x轴上截距为-2”这个条件确定参数。
和直线3x+4y－7=0垂直的直线系方
程是4x－3y＋m=0(其中m是参数)。
直线方程是4x－3y+8=0．
解法二：利用“在x轴上截距为-2”这个条件写出直线系，再用“垂直”这个条件确定参数。
∵此直线过点(-2，0)用点斜式写出直线系y－0=k(x＋2)，即y=k(x＋2)，(斜率k是参数)。
k1k=-1
例2
求和直线3x＋4y+2=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
解法一：先用“平行”这个条件写出直线系方程，再用“面积”这个条件确定参数。
与直线3x+4y＋2=0平行的直线系方程是
所求直线l的方程为3x＋4y±24=0．
解法二：先用“面积”这个条件写出直线系方程，再用“平行”这个条件确定参数。
设所求直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则有
画草图可知a、b同号，
∴｜ab｜＝ab．
48x＋a2y－48a＝0②．因为②式的直线与3x＋4y＋2＝0平行，
所求直线为48x＋64y-48(±8)＝0．
即3x＋4y±24=0．
例3
已知两直线l1∶x＋2＝0，l2∶4x＋3y＋5＝0．及定点A(-1，－2)．
求：直线l，它过l1、l2的交点且与点A的距离等于1。
解法一：先利用“过l1、12的交点”写出直线系方程，再根据“l与A点距离等于1”来确定参数。
过l1、l2交点的直线系方程是
(x＋2)＋λ(4x＋3y＋5)＝0，λ是参数。化为
(1+4λ)x+3λy＋(2＋5λ)＝0①．
得λ=0。
代入方程①，得x＋2=0。因为直线系方程①中不包含l2，所以应检查l2是否也符合所求l的条件。
∴l2也符合要求。
答：所求直线l的方程是
x+2=0和4x+3y+5=0．
：l1、l2的交点为(－2，1)，过这点的直线系方程为
y－1=k(x＋2)②，斜率k是参数。
即kx－y＋(2k＋1)＝0③，再根据方程③的直线与点A(-1，-2)的距离为1，来确定参数k。
得所求直线l的方程为4x＋3y＋5=0。
因为直线系方程②不包括与y轴平行的直线，所以应检查过点(－2，1)且与y轴平行的直线
x=－2是否符合所求直线l的条件。
∵点A(-1，-2)到直线x=-2的距离为1，所以直线x=-2即x+2=0也符合l的要求，应该补上，
答：所求直线l的方程是
x＋2=0和4x＋3y＋5=0．
例4
在△ABC中，AB边所在直线方程为4x＋y－12=0。高BH所在直线方程为5x-4y－15=0。高AH所在直线方程为2x+2y-9=0。
求：第三条高CH所在直线方程与AC边所在直线方程。
解：(1)H为垂心，CH过BH与AH的交点，且与AB垂直。
过BH与AH交点的直线系方程为
(5x-4y-15)+λ(2x+2y-9)=0①，即
(5＋2λ)x＋(-4＋2λ)y＋(-15－9λ)＝0②．
∴②与AB垂直，(即CH⊥AB)，
代入①，得CH所在直线方程是3x-12y-1＝0．
(2)直线AC是过AB与AH的交点且与BH垂直的直线，可设AC方程是过AB与AH交点的直线系方程
(4x+y-12)+λ(2x＋2y－9)=0③，即
(4＋2λ)x+(1+2λ)y＋(-12-9λ)=0④，
∵AC⊥BH，
∴5(4＋2λ)＋(-4)(1＋2λ)＝0，得λ=-8。
代入④得直线AC的方程是4x+5y-20＝0。
例5
已知2a-3b＝1(a，b∈R)，求证：直线ax＋by-5=0必过一个定点，并求出此定点。
解：代入ax＋by-5＝0，得(x-10)＋b(3x＋2y)=0①
∵b是实数，
∴方程①可看作过两相交直线交点的直线系方程，这两条直线分别是
l1∶x－10＝0，
l2∶3x+2y＝0，这两条直线的交点坐标为P(10，-15)。
∵P点坐标代入直线ax＋by-5＝0的左边得
a×10＋b(-15)-5
=5(2a-3b)-5
=5×1-5
＝0．
(注意2a-3b＝1是已知条件)，
∴直线ax＋by－5=0过定点P(10，－15)。
例6
已知直线l1∶2x-3y-1＝0，l2：3x－y-2=0，l3：7x-7y-2009=0；求过l1、l2交点且与l3垂直的直线方程。
分析：过两直线l1，l2的交点的直线系方程为l1＋λl2＝0(λ∈R)，根据已知条件，用待定系数法求出λ即可。
解：设λ为待定系数，则所求直线系方程是
(2x-3y-1)+λ(3x－y-2)=0，①
整理为
(2＋3λ)x＋(-3-λ)y＋(-1-2λ)=0．②
∵方程②与直线l3垂直，其系数关系为
7(2＋3λ)-7(-3-λ)=0→λ=-5/4③
③式代入②，所求直线为7x＋7y－6=0。
例7
长度为1的线段AB(B在A的右边)在x轴上移动，点P(0，1)与A点连成直线，点Q(1，2)与B点连成直线，求直线PA和直线QB交点的轨迹方程；并作出草图。
解：如图J1－15．设交点为M(x，y，)．A(a，0)，则B(a＋1，0)，直线PA方程为
即x＋ay=a．
直线BQ方程为
即2x＋ay-2-2a=0．
∴动点M的参数方程为
2x＋ay-2-2a＝0
消去参数a得轨迹方程为
例8
已知定点O(0，0)和A(6，0)，M是OA中点，以OA为一边作菱形OABC交于P点。当菱形变动时，求P点的轨迹方程。
解：如图J1－17。设动点为P(x，y)，相关点为(x′，y′)，A(6，0)，则M(3，0)
∵|AB|=|AO|=6
∴(x-4)2+y2=4
所求轨迹方程为(x-4)2＋y2＝4．(去掉(6，0)和(2，0)两点)．
例9
在△ABC中，B，C为定点，tgB·tgC=3ctgA+1，且ctgA≠0，求动点A的轨迹方程。
解：如图J1－18．设A(x，y)，B(－a，0)，C(a，0)．
∵-3ctgA=1-tgB·tgC
∴tgB＋tgC＝3．
设角α＝∠XCA
tgC=-tgα=-kAC
所求轨迹方程为：3x2＋2ay－3a2=0．
例10
一动点到正三角形三边的距离的平方和等于常数，求动点的轨迹方程。
解：如图J1－19，取正三角形ABC的AB边的所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系．
设△ABC的边长为2a(a＞0)，则A(-a，0)，B(a，0)，
作PL⊥AB于L，PM⊥BC于
M，PN⊥AC于N．
∴｜PL｜2＋｜PM｜2＋｜PN｜2＝λ2
(λ＞0，λ为定值)。
AC所在直线方程为
BC所在直线方程为
故P点的轨迹方程为
当λ＜a时，无轨迹。
例11
曲线C的方程是f(x，y)=0，那么曲线C关于直线y=x－2的对称曲线C′的方程是
(A)f(y+2，x)=0．
(B)f(x-2，y)=0．
(C)f(y＋2，x-2)=0．
(D)f(y-2，x＋2)=0．
分析：根据示意图J1－20的直观思考。
∴f(x，y)=
f(y′＋2，x′-2)=0
即f(y＋2，x－2)=0．
∴应选择(C)．
