发展简史
最大模原理能由解析函数所实现的映射的拓扑性质得到直接的说明，即非常数的解析函数将开集映为开集;同样也能由分析的观点来证明，即根据柯西积分公式，函数()在域 内任一闭圆盘|-|≤的圆心之值等于它在圆周上积分值的算术平均数。
由此可知非常数的全纯函数其模不能在 内取得最大值。这一原理在函数论中有着很广泛的应用，以这个定理为根据的证明都非常简明。
定理定义
形式1：设在区域内解析，则在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒于某常数。
形式2：设在区域内解析，为内一点，若对于内所有的点都有，则在内必为一常数。
形式3：在有界区域内解析，在上连续的函数的模一定在上达到最大值，即存在，使得任给有。
验证推导
证明：
因在内解析且不恒为常数，若有零点，则这些零点必是孤立的。因此，由。，必存在某个含的邻域，使。
作，因在内解析且无零点，则在内解析，又因在内不恒为常数，从而它在内不恒为常数，则在内不恒为常数，故由最大模原理知在处不能达到极大值，从而在处不能达到极大值，因此不可能是在内的最小值。
定理推广
1单复变函数的最大模、最小模原理及其推论：
定理1(最大模原理)设函数在区域内解析，则|在内任何点都不能达到最大值，除非在内恒等于常数。
最大模原理说明了解析函数在区域边界上的最大模可以限制区域内的最大模。则也是解析函数特有的性质。
定理意义
最大模原理是解析函数论中最有用的定理之一，应用它可以解决多方面的问题，主要包括下面几点:证明一些有名的定理和引理：证明某函数在一区域内有零点;证明某函数为常数。
