解释
简介
比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重,用于反映总体的构成或者结构。
比例分为比例尺和比例两种.表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等。组成比例的四个数,叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。在比例里,两个外项的积等于两个内项的积,这是比例的基本性质。求比例其中一个未知项,叫做解比例。
举例说明
①表示两个比值相等的式子叫做比例,如3:4=9:12、7:9=21:27
比例有四个项,分别是两个内项和两个外项;在7:9=21:27中,其中7与27叫做比例的外项,9与21叫做比例的内项。
②比如:教师和学生的~已经达到要求。
③比如:在所销商品中,国货的~比较大。
④比例写成分数的形式后,那么,左边的分母和右边的分子是内项;左边的分子和右边的分母是外项。
⑤比例的基本性质:在一个比例中,两个外项的积等于两个内项的积。
正比例反比例
正比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中相对应的两个数的比值(商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。如果用字母x和y表示两种关联的量,用k表示它们的比值,成正比例关系可以用下面式子表示:y/x=k(一定)
反比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。如果用字母x和y表示两种关联的量,用k表示它们的乘积,成反比例关系可以用下面式子表示:xy=k(一定)
反比例性的概念可以与直接相称性进行对比。考虑两个变量被认为是“相互成比例”的。如果所有其他变量保持不变,如果另一个变量增加,则一个反比例变量的幅度或绝对值减小,而其乘积(比例常数k)总是相同的。
如果每个变量与另一个变量的乘数相反(倒数)成正比,则两个变量成反比(也称为反向变化,反向变异,反比例),如果其乘积是一个常数。因此,如果存在非零常数k,则变量y与变量x成反比:
或等价于。因此,常数是x和y的乘积。
例如,旅途所需的时间与旅行速度成反比;挖洞所需的时间(大概)与挖掘人数成反比。
在笛卡尔坐标平面上反向变化的两个变量的曲线图是矩形双曲线。曲线上每个点的x和y值的乘积等于比例常数(k)。既然x和y都不能等于零(因为k是非零),所以图形从不跨任一个轴。
如何判断
在解决此类问题过程中要紧紧抓住正反比例的意义,一是看不是两种相关联的量,二看这两个量之间的商一定还是积一定的。商一定,两个量成正比例;积一定,两个量成反比例。其次在解决实践应用问题时要注意比和比例,以及它们和分数之间的关系。然后再综合所学过的知识进行解答。
区别
比表示两个数相除(有两项,前项和后项),比例表示两个比相等的式子(有四项,两个内项,两个外项)。
解比例
比例分为比例尺和比例.表示两个比相等的式子叫做比例。判断两个比能不能组成比例,要看它们的比值是不是相等。
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。已知比例中的任何三项,就可以求出这个比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例。 解比例都是运用比例的基本性质来解的,因为两外项的积等于两内项的积,所以我们可以把两个外项和内项互相乘起来,再来解这个方程。比如:x:3= 9:27
解法:
x:3=9:27
解:27x=3×9
27x=27
x=1
比例具有如下性质:
若a:b=c:d(b.d≠0),则有
1) ad=bc (即比例的基本性质:两个外项的积等于两个内项的积)
2) b:a=d:c (a.c≠0) (交换比较,结果仍然相等)
3) a:c=b:d ; c:a=d:b
4) (a+b):b=(c+d):d
5) a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)
6) (a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)
证明过程如下
令 a:b=c:d=k,
∵a:b=c:d
∴a=bk;c=dk
1)∴ad=bk*d=kbd;bc=b*dk=kbd
∴ad=bc
2) 显然b:a=d:c=1/k
3) a:c=bk:dk=b:d ;结合性质2有c:a=d:b
4) ∵a:b=c:d
∴(a/b)+1=(c/d)+1
∴(a+b)/b=(c+d)/d=1+k ;即 (a+b):b=(c+d):d
a+b≠0,c+d≠0时,结合性质2有b:(a+b)=d:(c+d)
且……①
5) ∵b/(a+b)=d/(c+d)
∴1- b/(a+b)=1- d/(c+d)=1-1/(k+1)
∴a/(a+b)=c/(c+d)=k/k+1 ……②
即a:(a+b)=c:(c+d)
a+b≠0,c+d≠0时,结合性质2有 (a+b):a=(c+d):c
6) ②-①,等式两边同时相减得
7) 做做此题:一个长方形,比为5:3,长方形的周长是80米,求它的长和宽。
(有意者,请做在后面。)
假设长方形长为5X,宽为3X,那么:
(5X+3X)*2=80
8X=40
X=5
长:5X=5*5=25(米) 宽:3X=5*3=15(米)
答:这个长方形的长是25米,宽是15米。
或:
两个长: (米)
两个宽:(米)
长:(米)
宽:(米)
答:这个长方形的长是25米,宽是15米。
或:
长:(米)
宽:(米)
答:这个长方形的长是25米,宽是15米。