来源
用回溯算法解决问题的一般步骤:
1、针对所给问题,定义问题的解空间,它至少包含问题的一个(最优)解。
2、确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间。
3、以深度优先的方式搜索解空间,并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。
问题的解空间通常是在搜索问题解的过程中动态产生的,这是回溯算法的一个重要特性。
确定了解空间的组织结构后,回溯法就从开始结点(根结点)出发,以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点,同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处,搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点,并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动,则当前扩展结点就成为死结点。此时,应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处,并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索,直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
基本思想
回溯算法的基本思想是:从一条路往前走,能进则进,不能进则退回来,换一条路再试。八皇后问题就是回溯算法的典型,第一步按照顺序放一个皇后,然后第二步符合要求放第2个皇后,如果没有位置符合要求,那么就要改变第一个皇后的位置,重新放第2个皇后的位置,直到找到符合条件的位置就可以了。回溯在迷宫搜索中使用很常见,就是这条路走不通,然后返回前一个路口,继续下一条路。回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数,剪去一些不可能到达最终状态(即答案状态)的节点,从而减少状态空间树节点的生成。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中,按照深度优先的策略,从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时,总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含,则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索,逐层向其祖先结点回溯。否则,进入该子树,继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时,要回溯到根,且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时,只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法,它适用于解一些组合数较大的问题。
算法框架
(pascal语言)
procedure try(i:integer);
var
begin
if i>n then 输出结果
else for j:=下界 to 上界 do
begin
x[i]:=h[j];
if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值;try(i+1); end;
end;
(c++)以下以一道题目为例,素数环问题
将从1到n这n个整数围成一个圆环,若其中任意2个相邻的数字相加,结果均为素数,那么这个环就成为素数环。
#include
#include
#include
using namespace std;
int ans[21] = {0}, tot = 0;
bool a[21] = {0};
void print(){
tot++;
cout << "No." << tot << ':';
for (int i = 1; i <= 20; i++)
cout << ans[i] << ' ';
cout << endl;
}
bool isprime(int x1, int x2){
int i = x1 + x2,f;
for (f = 2; f <= sqrt(i); f++)
if (i % f == 0)
return false;
return true;
}
int search(int t){
for (int i = 1; i <= 20; i++){
if (a[i] == false && isprime(ans[t - 1], i)){
ans[t] = i;
a[i] = true;
if (t == 20 && isprime(ans[1], ans[20]))
print();
else
search(t + 1);
a[i] = false;
}
}
}
int main() {
search(1);
printf("The total is %d", tot);
}
典型例题
问题描述
八皇后问题:在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。
代码
int g_number = 0;
void EightQueen()
{
const int queens = 8;
int ColumnIndex[queens];
for(int i = 0; i < queens; ++ i)
ColumnIndex[i] = i;
Permutation(ColumnIndex, queens, 0);
}
void Permutation(int ColumnIndex[], int length, int index)
{
if(index == length)
{
if(Check(ColumnIndex, length))
{
++ g_number;
PrintQueen(ColumnIndex, length);
}
}
else
{
for(int i = index; i < length; ++ i)
{
int temp = ColumnIndex[i];
ColumnIndex[i] = ColumnIndex[index];
ColumnIndex[index] = temp;
Permutation(ColumnIndex, length, index + 1);
temp = ColumnIndex[index];
ColumnIndex[index] = ColumnIndex[i];
ColumnIndex[i] = temp;
}
}
}
bool Check(int ColumnIndex[], int length)
{
for(int i = 0; i < length; ++ i)
{
for(int j = i + 1; j < length; ++ j)
{
if((i - j == ColumnIndex[i] - ColumnIndex[j])
|| (j - i == ColumnIndex[i] - ColumnIndex[j]))
return false;
}
}
return true;
}
void PrintQueen(int ColumnIndex[], int length)
{
printf("Solution %dn", g_number);
for(int i = 0; i < length; ++i)
printf("%dt", ColumnIndex[i]);
printf("n");
}