雅可比矩阵

定义

它们全部都以数学家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于多元函数的导数。

雅可比矩阵定义为向量对向量的微分矩阵，定义式如下：

MAtLAB

MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。

syms r l f

x=r*cos(l)*cos(f);

y=r*cos(l)*sin(f);

z=r*sin(l);

J=jacobian([x;y;z],[r l f])

结果：

J =

[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]

[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]

[ sin(l), r*cos(l), 0 ]

面积元

关于这个的一般性证明稍微复杂点，现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立

证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中

A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的。利用中值定理可知：

(u+△u,v)-(u,v)=Mdu

(u,v+△v)-(u,v)=Ndv

这里的M，N是偏导数的形式，不好打出，你可以自己算出来，很简单的。

当变化量很小时，我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v)，(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v)，所以，

dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv

而其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式。

由此问题得证。