正多面体

名词简介

正多面体的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些化学物质的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。

古希腊的毕达哥拉斯学派曾对五种小多面体作过专门研究，并将研究成果拿给柏拉顿学校教授。故而，西方数学界也将这五种正多面

体称为柏拉顿立体。

推导证明

代数几何法

顶点数V，面数F，棱数E

设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半(每两面共用一条棱)，即

nF=2E--------------①

同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即

mV=2E--------------②

由①、②，得

F=2E/n，V=2E/m，

代入欧拉公式V+F-E=2，

有

2E/m+2E/n-E=2

整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数，所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2--------------③

说明m，n不能同时大于3，否则1/m+1/n<1/2，即

③不成立。另一方面，因为多边形至少有三边(n≥3)，而在每顶角处也至少有三边(m≥3)。

但n>3，且r>3又是不可能的，因为那样就要有

1/m+1/n<=1/4+1/4=1/2

故m和n中至少有一个等于3

当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6，n又是正整数，所以n只能是3，4，5

同理n=3，m也只能是3，4，5

所以有以下几种情况：

n=3，m=3正四面体

n=4，m=3正六面体

n=3，m=4正八面体

n=5，m=3正十二面体

n=3，m=5正二十面体

几何法

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种，证明：设正多面体的F个面都是正n边形，V个顶点处的多面角都是m面角。因为每一个面有n条边，每两边并成正多面体的一条棱，所以共有nF/2条棱，又因为从每一个顶点出发有m条棱，V个顶点共发出mV条，每条棱都计算了两次，所以棱的总数是mV/2，因此nF/2=mV/2=E。 

相同表面积的四面体、六面体、正十二面体、以及正二十面体，其中体积最大的是：正二十面体。

名词对偶性

把一个正多面体每个面的中心连起来，可以得到一个新的多面体。这称为正多面体的对偶性。如果原来是正六面体，那么得到的是正八面体;如果原来是正八面体，那么得到的是正六面体.把这一性质称为正六面体与正八面体对偶。正十二面体与正二十面体对偶。而正四面体则与自己对偶。

名词公式

其中sqrt(x)表示x的算术平方根。

各多面体的体积如下：

V4=sqrt(2)/12*a^3

V6=a^3

V8=sqrt(2)/3*a^3

V12=(15+7sqrt(5))/4*a^3

V20=(15+5sqrt(5))/12*a^3

各多面体的表面积如下：

S4=sqrt(3)*a^2

S6=6*a^2

S8=2sqrt(3)*a^2

S12=（5sqrt(25+10sqrt(5))/4*a^2

S20=5sqrt(3)*a^2