定理提出
一般几何教科书中的“托勒密定理”,实出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是从他的书中摘出。
摘出并完善后的托勒密(Ptolemy)定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
定理表述:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.
定义
指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
证明
1、(以下是推论的证明,托勒密定理可视作特殊情况。)
在任意凸四边形 中(如图1),
作 使 ,,
连接 ,则
所以,即
由 ,得 ,
又 ,
所以 ,
所以,即
(1)+(2) , 得
又因为
(仅在四边形 是某圆的内接四边形时,等号成立,即“托勒密定理” )
- 复数证明
用分别表示四边形顶点的复数,则 的长度分别是:、、、、、。
首先注意到复数恒等式: ,两边取模,运用三角不等式得。等号成立的条 件是 与 的辐角相等,这与四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上,托勒密不等式是三角不 等式的反演形式。
2、设是圆内接四边形。
在弦 上,圆周角 ,
而在上, 。
在上取一点,使得 ;
因为 ,
所以 。
因此 与 相似,同理也有
因此 ,且;
因此,且;
两式相加得;
但 ,
因此 。
证毕。
3、托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面 积与另一组对边所包矩形的面积之和).
已知:圆内接四边形 ,求证:
证明: 如图1,过作交于 ,使 ,又 ,
. 得,。
又 ,,
. 得 ,。
(1)+(2)得 . 即
4、广义托勒密定理:设四边形 四边长分别为, 两条对角线长分别为,则有: 。
定理推广
推广
托勒密不等式:凸四边形的两组对边乘积和不小于其对角线的乘积,取等号当且仅当共圆或共线。
简单的证明:复数恒等式:(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),两边取模,
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
推论
1.任意凸四边形,必有,当且仅当四点共圆时取等号。
2.托勒密定理的逆定理同样成立:一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆。
运用要点
1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。
2.四点不限于同一平面。
欧拉定理:在一条线段上AD上,顺次标有B、C两点,则AD·BC+AB·CD=AC·BD