中国的数学典籍
《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为：“又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”
从中可知，在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出，换言之球体体积=(9x直径^3)/16
以现代的理解，这公式当然是错的，但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。
相关研究
当然这个结果对数学家而言是极之不满的，其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑：“以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多。互相通补，是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤多耳。”
即是说，用π≒3来计算圆面积时，则较实际面积要少；若按π：4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时，则球的体积又较实际多了一些。然而可以互相通补，但按9：16的比率来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些。因此，刘徽创造了一个独特的立体几何图形，而希望用这个图形以求出球体体积公式，称之为“牟合方盖”。
解释
是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述：
“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。”
刘徽理论
其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形，而这个图形就是“牟合方盖”，因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π：4，他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式，因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4：3，只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可，可惜，刘徽始终不能解决，他只可以指出解决方法是计算出“外棋”的体积，但由于“外棋”的形状复杂，所以没有成功，无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法：
“观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正理。敢不阙疑，以俟能言者。”
而贤能之士要在刘徽后二百多年才出现，便是中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅，他们承袭了刘徽的想法，利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。
祖冲之父子主要发现
是到三个“外棋”的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为r的正立方体组成的大正立方体，然后用制作“牟合方盖”的方法把这大正立方体分割，再取其中一个小正立方体部分作分析，分割的结果将跟右图所示的相同，白色部分称为“小牟合方盖”，它的体积为“牟合方盖”的八分之一，而紫红、黄和青色的部分便是三个“外棋”。
祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h，三个“外?”的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a，因此根据“勾股定理”有a²=r²-h²，另外，因为S=r²-a²，所以S=r²-(r²-h²)=h²
于所有的h来说，这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发，他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥，倒过来立着，与三个“外棋”的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h，不难发现对于任何的h，方锥截面面积也必为h²。换句话说，虽然方锥跟三个“外棋”的形状不同，但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算，而在等高处的截面面积总是相等的，所以它们的体积也就不能不是相等的了，所以祖氏云：“缘幂势既同，则积不容异。”
所以
外棋体积之和=方锥体积=小立方体体积/3=r³/3
即
小牟合方盖体积=2r³/3
牟合方盖体积=16r³/3
因此
球体体积=(π/4)(16r³/3)=4πr³/3
这条公式也就是正正式式的球体体积公式。
相关评价
虽然这球体体积公式比欧洲阿基米德的公式迟了出现，但由方法以至推导也是由刘徽及祖氏父子自行创出，也可算是一项杰出的成就。当中用了"缘幂势既同，则积不容异。"即"等高处截面面积相等，则二立体的体积相等。"的定理，现在一般认为是由意大利数学家卡瓦列利(Cavalieri)首先引用，称为卡瓦列利原理(Principle of Cavalieri)，但事实上祖氏父子比他早一千年就用到这个原理，所以称之为"祖氏原理"可能会较适合。
