基本介绍
(即R,实直线),二维欧几里得空间(即实平面)和三维欧几里得空间(即现实的三维立体空间)有了比较深入的了解。现在,我们讨论n维欧几里得空间。n维欧几里得空间
定义1 设n是正整数,由n个实数构成的有序数组 的全体组成的集合,称为 n维点集或 n维欧几里得空间,记作,即n维欧几里得空间
相关概念及性质
为了深入研究行维点集
中邻域、有界集、点列收敛等概念,需要对中的点之间定义距离。为了使问题讨论适用于更广泛的情形,我们对一般的集合给出距离的概念。定义2 设X是一个非空集合,如果对于X中任何两个元素x和y,都有一个确定的实数,记为
,与之对应,且满足下面三个条件,则称是X上的一个 距离,称是x和y之间的距离,而称X是以为距离的距离空间(或度量空间),记为。这三个条件是:(1)非负性,
,而且当且仅当;(2)对称性,
;(3)三角不等式,
,这里z也是X中的任意一个元素。n维欧几里得空间
n维欧几里得空间
对于Rⁿ中的任意两点 定义实函数,则
满足距离的三个条件(1),(2),(3),称为上的 欧几里得距离,称为n维欧几里得空间。定义3设
是一固定点,为一实数,则集合称为以P为中心的邻域,记作。P称为邻域的中心,
称为邻域的半径,某邻域当不需要指出半径时,可以简单地说是P的某邻域,记作,显然,在 中的邻域,就分别是以P为中心以为半径的开区间、开圆和开球。容易证明邻域具有如下基本性质:
n维欧几里得空间
(1)对于,存在;(2)对于
,存在和,使。n维欧几里得空间
n维欧几里得空间
定义4设
是R 中一个点列, ,如果当时,有,则称点列收敛于P,记为 。用邻域的语言来说,就是:对P的任意邻域
,存在 ,使当时,.用“
”语言来说,就是:对任意的,存在,使当时,.定义5设A,B是两个非空点集,A与B的距离定义为