基本概念
定义
设函数 ，式中 只对 在非负整数值上有定义，在自变量x依次取遍非负整数，即 时，相应的函数值为
简记为
定义1 当自变量从 变到 时，函数 的改变量
称为函数 在点 的一阶差分，通常记作
例题解析
例1 设 ，求 。
解: 。
例2 设 (其中 且 )，求 。
解: 。
可见，指数函数的差分等于指数函数乘上一个常数。
例3 设 ，求 。
解:。
高阶差分
下面给出高阶差分的定义。
定义2 当自变量从 变到 时，一阶差分的差分
称为函数 的二阶差分，记作 ，即
同样，二阶差分的差分称为三阶差分，记为 ，即
依此类推，可得函数的n阶差分为
性质及定理
（1）(C为常数)；
（2）；
（3）；
（4）若为最高次项系数为的n次多项式，则；
（5）若为n次多项式，则；
（6）若，则是x的一个次数小于等于r的代数多项式。
差分方程
定义3 凡含有自变量x，未知函数 及未知函数的差分 的函数方程称为差分方程，如方程
是差分方程．方程中差分的最高阶数(即△上方最大的数字)称为差分方程的阶，几阶就称为几阶差分方程，n阶称为n阶差分方程。
由于n阶差分总可表示成n+1个点上函数值的线性组合．因而差分方程又可定义如下。
定义4 凡是含有自变量x以及两个或两个以上的未知函数值的函数方程
称为差分方程。方程中未知函数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶。
定义5 (1) 如果将已知函数 代人差分方程，能使其对 成为恒等式，则称函数 为该差分方程的一个解；
(2) 对于n阶差分方程，含有n个独立的任意常数的解称为该差分方程的通解；(3)差分方程的不包含任意常数的解称为该方程的特解。
在通解中给定一组任意常数所确定的解，就是该n阶差分方程的特解，常由初始条件求出一组任意常数的值，确定特解。
