勾股數:數學幾何學術語-中文百科頻道

簡介

①觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…發現這些勾股數都是奇數，且從3起九沒有間斷過。計算0.5（9-1），0.5（9+1）與0.5（25-1），0.5（25+1），并根據你發現的規律寫出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。

②根據①的規律，用n的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間的兩種相等關系，并對其中一種猜想加以說明。

③繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過，運用上述類似的探索方法，之間用m的代數式來表示它們的股合弦。

常用套路

簡介

所謂勾股數，一般是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數(例如a,b,c)。

即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N

又由于，任何一個勾股數組(a,b,c)内的三個數同時乘以一個整數n得到的新數組(na,nb,nc)仍然是勾股數，所以一般我們想找的是a,b,c互質的勾股數組。

公式證明

證明

a=2mn

b=m^2-n^2

c=m^2+n^2

證：假設a^2+b^2=c^2，這裡研究(a,b)=1的情況（如果不等于1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）

如果a,b均奇數，則a^2+b^2=2(mod4)（奇數mod4餘1），而2不是模4的二次剩餘，矛盾，所以必定存在一個偶數。不妨設a=2k

等式化為4k^2=(c+b)(c-b)

顯然b,c同奇偶（否則右邊等于奇數矛盾）

作代換：M=(c+b)/2,N=(c-b)/2，顯然M，N為正整數

往證：(M,N)=1

所以(M,N)=1得證。

依照算術基本定理，k^2=p1^a1*p2^a2*p3^a3*...，其中a1,a2...均為偶數，p1,p2,p3...均為質數

如果對于某個pi，M的pi因子個數為奇數個，那N對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|M,pi|N，(M,N)=pi>1與剛才的證明矛盾所以對于所有質因子,pi^2|M,pi^2|N，即M，N都是平方數。

設M=m^2,N=n^2

從而有c+b=2m^2,c-b=2n^2，解得c=m^2+n^2,b=m^2-n^2,從而a=2mn

推廣形式

關于勾股數的公式還是有局限的。勾股數公式可以得到所有的基本勾股數，但是不可能得到所有的派生勾股數。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式計算出來。

但可以采用同乘以任意整數的形式來獲取所有解！

其中規定m>n>0（兩負數相乘可抵消固不考慮），(m,n)=1，m和n必須為一奇一偶，t為正整數

完全公式

公式

a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3

⒈、當m确定為任意一個≥3的奇數時，k={1，m^2的所有小于m的因子}

⒉、當m确定為任意一個≥4的偶數時，k={m^2/2的所有小于m的偶數因子}

基本勾股數與派生勾股數可以由完全一并求出。例如，當m确定為偶數432時，因為k={432^2/2的所有小于432的偶數因子}={2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24組不同k值分别代入b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2；即得直角邊a=432時，具有24組不同的另一直角邊b和斜邊c，基本勾股數與派生勾股數一并求出。而勾股數的組數也有公式能直接得到。